Um die Formeln nicht mit Zeichen zu überladen, wollen wir da, wo nur ein allgemeines Relativ und S oder P-zeichen in Betracht kommt, den laufenden Zeiger unerwähnt lassen.
Ist a konstant, so haben wir das Tautologiegesetz 17) Pa = a = Sa wie immer die Erstreckung des P oder S auch gegeben sein möge -- vgl. d) des § 3, S. 39.
Ist a variabel, so haben wir doch: 18) PaaSa wenn das in der Mitte stehende (von P und S) freie a nur irgend einen, einen beliebigen von den wechselnden Termen (a) vorstellt, über welche das P und S sich übereinstimmend erstrecken soll -- vergl. a) des § 3.
Ein solches Pa, =
[Formel 1]
, soll uns eigentlich einen in formaler Hin- sicht als allgemeiner oder noch umfassender erscheinenden Ausdruck vertreten:
[Formel 2]
.
Dieser Ausdruck umfasst zunächst in der That den vorigen, indem es uns, solange ph(a) von unbestimmter Allgemeinheit ist, jederzeit freistehn wird, dieses ph(a) = a selbst zu spezialisiren.
Anstatt jedoch als Erstreckung des P den Bereich der Werte an- zugeben, welche dem Argument a des allgemeinen Terms ph(a) in Ge- danken beizulegen sind, m. a. W. welche a selbst "zu durchlaufen" hat, und durch welche sich die zugehörigen Werte von ph(a) jeweils eindeutig bestimmt erweisen, kann man sich auch sogleich den Bereich der letzteren Werte angegeben denken. Dieser bildet einen neuen, von dem des a im allgemeinen verschiedenen Erstreckungsbereich, und wenn wir ihn an Stelle des vorigen zugrunde legen, so wird unser Ausdruck
[Formel 3]
durch den
[Formel 4]
nunmehr zu ersetzen sein. Förmlich einander gleich dürfen trotz ihrer Identität die beiden Ausdrücke aber nicht gesetzt werden, weil in solcher Gleichung wegen der Verschiedenheit der beiderseitigen Er- streckungsbereiche das Zeichen P als ein "doppelsinniges" gebraucht erschiene [das ph(a) hat ja nicht die Werte des a anzunehmen oder zu durchlaufen!] -- also: weil mit dem Übergang über das Gleich- heitszeichen ein Wechsel in den Bezeichnungsprinzipien, in der Ter- minologie oder Nomenklatur eingetreten wäre, was unerlaubt.
Dritte Vorlesung.
Um die Formeln nicht mit Zeichen zu überladen, wollen wir da, wo nur ein allgemeines Relativ und Σ oder Π-zeichen in Betracht kommt, den laufenden Zeiger unerwähnt lassen.
Ist a konstant, so haben wir das Tautologiegesetz 17) Πa = a = Σa wie immer die Erstreckung des Π oder Σ auch gegeben sein möge — vgl. δ) des § 3, S. 39.
Ist a variabel, so haben wir doch: 18) Πa⋹a⋹Σa wenn das in der Mitte stehende (von Π und Σ) freie a nur irgend einen, einen beliebigen von den wechselnden Termen (a) vorstellt, über welche das Π und Σ sich übereinstimmend erstrecken soll — vergl. α) des § 3.
Ein solches Πa, =
[Formel 1]
, soll uns eigentlich einen in formaler Hin- sicht als allgemeiner oder noch umfassender erscheinenden Ausdruck vertreten:
[Formel 2]
.
Dieser Ausdruck umfasst zunächst in der That den vorigen, indem es uns, solange φ(a) von unbestimmter Allgemeinheit ist, jederzeit freistehn wird, dieses φ(a) = a selbst zu spezialisiren.
Anstatt jedoch als Erstreckung des Π den Bereich der Werte an- zugeben, welche dem Argument a des allgemeinen Terms φ(a) in Ge- danken beizulegen sind, m. a. W. welche a selbst „zu durchlaufen“ hat, und durch welche sich die zugehörigen Werte von φ(a) jeweils eindeutig bestimmt erweisen, kann man sich auch sogleich den Bereich der letzteren Werte angegeben denken. Dieser bildet einen neuen, von dem des a im allgemeinen verschiedenen Erstreckungsbereich, und wenn wir ihn an Stelle des vorigen zugrunde legen, so wird unser Ausdruck
[Formel 3]
durch den
[Formel 4]
nunmehr zu ersetzen sein. Förmlich einander gleich dürfen trotz ihrer Identität die beiden Ausdrücke aber nicht gesetzt werden, weil in solcher Gleichung wegen der Verschiedenheit der beiderseitigen Er- streckungsbereiche das Zeichen Π als ein „doppelsinniges“ gebraucht erschiene [das φ(a) hat ja nicht die Werte des a anzunehmen oder zu durchlaufen!] — also: weil mit dem Übergang über das Gleich- heitszeichen ein Wechsel in den Bezeichnungsprinzipien, in der Ter- minologie oder Nomenklatur eingetreten wäre, was unerlaubt.
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[98/0112]
Dritte Vorlesung.
Um die Formeln nicht mit Zeichen zu überladen, wollen wir da,
wo nur ein allgemeines Relativ und Σ oder Π-zeichen in Betracht
kommt, den laufenden Zeiger unerwähnt lassen.
Ist a konstant, so haben wir das Tautologiegesetz
17) Πa = a = Σa
wie immer die Erstreckung des Π oder Σ auch gegeben sein möge
— vgl. δ) des § 3, S. 39.
Ist a variabel, so haben wir doch:
18) Πa⋹a⋹Σa
wenn das in der Mitte stehende (von Π und Σ) freie a nur irgend
einen, einen beliebigen von den wechselnden Termen (a) vorstellt, über
welche das Π und Σ sich übereinstimmend erstrecken soll — vergl.
α) des § 3.
Ein solches Πa, = [FORMEL], soll uns eigentlich einen in formaler Hin-
sicht als allgemeiner oder noch umfassender erscheinenden Ausdruck
vertreten:
[FORMEL].
Dieser Ausdruck umfasst zunächst in der That den vorigen, indem
es uns, solange φ(a) von unbestimmter Allgemeinheit ist, jederzeit
freistehn wird, dieses φ(a) = a selbst zu spezialisiren.
Anstatt jedoch als Erstreckung des Π den Bereich der Werte an-
zugeben, welche dem Argument a des allgemeinen Terms φ(a) in Ge-
danken beizulegen sind, m. a. W. welche a selbst „zu durchlaufen“
hat, und durch welche sich die zugehörigen Werte von φ(a) jeweils
eindeutig bestimmt erweisen, kann man sich auch sogleich den Bereich
der letzteren Werte angegeben denken. Dieser bildet einen neuen,
von dem des a im allgemeinen verschiedenen Erstreckungsbereich, und
wenn wir ihn an Stelle des vorigen zugrunde legen, so wird unser
Ausdruck [FORMEL] durch den
[FORMEL] nunmehr zu ersetzen sein. Förmlich einander gleich dürfen trotz ihrer
Identität die beiden Ausdrücke aber nicht gesetzt werden, weil in
solcher Gleichung wegen der Verschiedenheit der beiderseitigen Er-
streckungsbereiche das Zeichen Π als ein „doppelsinniges“ gebraucht
erschiene [das φ(a) hat ja nicht die Werte des a anzunehmen oder
zu durchlaufen!] — also: weil mit dem Übergang über das Gleich-
heitszeichen ein Wechsel in den Bezeichnungsprinzipien, in der Ter-
minologie oder Nomenklatur eingetreten wäre, was unerlaubt.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 98. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/112>, abgerufen am 25.11.2024.
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