ander niemals störenden Operationen oder Prozesse hintereinander ausgeführt werden, als da sind: Vertauschung gewisser Knüpfungszeichen, nämlich Ver- wandlung jedes Knüpfungszeichens in das andre von derselben Hauptstufe, und: Rückwärtslesen des Ausdrucks, oder Umkehrung der Reihenfolge von allen seinen Termen und den sie verbindenden Zeichen -- worauf ja das Dualisiren und das Konjugiren wesentlich hinauslief.
Durch beide Operationen, gleichviel in welcher Folge sie ausgeführt werden, gelangt man -- genau so wie in der Kinematik bei der Zu- sammensetzung, dem "Parallelogramm der Bewegungen" -- von irgend einer der vier Formeln unsres Quadrupels allemal zu der ihr diagonal gegenüberstehenden -- das eine mal über die eine, das andre mal über die andre Ecke des Vierecks, d. h. eben vermittelst einer von den beiden Formeln, die mit ihr in derselben Flucht stehen (auf derselben Zeile oder aber in derselben Spalte).
So wichtig in praktischer Hinsicht diese Fingerzeige auch sein mögen indem sie uns beinah drei viertel aller Deduktionsarbeit er- sparen werden, bilden sie doch kein wesentliches Moment im deduktiven Aufbaue unsrer Theorie selbst: die durch sie gesparte Arbeit könnte ja in jedem Einzelfalle mit grösster Leichtigkeit geleistet werden! Es ist darum kein grosses Gewicht darauf zu legen, ob etwa die vor- stehend über Dualismus und Konjugation aufgestellten Behauptungen in ihrer ganzen Allgemeinheit durch die von mir dazu gegebnen Er- läuterungen schon vollkommen strenge -- als aus unsern 28 fundamen- talen Festsetzungen formal folgende -- begründet zu erachten seien.
Solche Begründung könnte pedantischer noch verlangt und beigebracht werden; bei wesentlichen Deduktionen werden wir ganz anders strenge -- penibel formal -- zuwerke gehen. Bei jenen Überlegungen aber ver- lohnte wol solches nicht; ich messe denselben fast nur die erziehliche Wir- kung bei, dass sie den Leser in den Stand setzen, sowol: die fehlenden drei viertel der Beweise, um deren Druckraum wir unser Buch entlasten müssen, gewünschtenfalles selbst beizubringen: als blosse Wiederholungen in der dualen oder konjugirten Umschreibung des Viertels der Beweise welches wir bringen, als auch: aus der von uns bewiesenen Formel eines jeden Quadrupels sich immer die drei andern direkt auf kürzestem Wege herzuleiten. Immerhin hoffe ich die beiden Prinzipien einleuchtend gemacht zu haben und kann versichern, dass sie bei längerer Praxis immer intui- tiver werden.
Das Prinzip des Dualismus -- hier nur zufolge Hinzutretens der bei- den relativen Knüpfungen und Moduln unwesentlich in nahe liegender Weise, zu erweitern gewesen -- ist dem Leser schon aus dem identischen Kalkul bekannt. Dass letzterm das Konjugationsprinzip fremd ist, liegt daran dass diese Disziplin keine nicht-kommutativen Spezies kennt. Im identischen Kalkul fallen konjugirte Formeln im Hinblick auf die Kommu- tationsgesetze jeweils in einen Satz zusammen, und sie würden auch in der Algebra der Relative in eine Formel zusammenfallen, wenn hier alle knüp-
Dritte Vorlesung.
ander niemals störenden Operationen oder Prozesse hintereinander ausgeführt werden, als da sind: Vertauschung gewisser Knüpfungszeichen, nämlich Ver- wandlung jedes Knüpfungszeichens in das andre von derselben Hauptstufe, und: Rückwärtslesen des Ausdrucks, oder Umkehrung der Reihenfolge von allen seinen Termen und den sie verbindenden Zeichen — worauf ja das Dualisiren und das Konjugiren wesentlich hinauslief.
Durch beide Operationen, gleichviel in welcher Folge sie ausgeführt werden, gelangt man — genau so wie in der Kinematik bei der Zu- sammensetzung, dem „Parallelogramm der Bewegungen“ — von irgend einer der vier Formeln unsres Quadrupels allemal zu der ihr diagonal gegenüberstehenden — das eine mal über die eine, das andre mal über die andre Ecke des Vierecks, d. h. eben vermittelst einer von den beiden Formeln, die mit ihr in derselben Flucht stehen (auf derselben Zeile oder aber in derselben Spalte).
So wichtig in praktischer Hinsicht diese Fingerzeige auch sein mögen indem sie uns beinah drei viertel aller Deduktionsarbeit er- sparen werden, bilden sie doch kein wesentliches Moment im deduktiven Aufbaue unsrer Theorie selbst: die durch sie gesparte Arbeit könnte ja in jedem Einzelfalle mit grösster Leichtigkeit geleistet werden! Es ist darum kein grosses Gewicht darauf zu legen, ob etwa die vor- stehend über Dualismus und Konjugation aufgestellten Behauptungen in ihrer ganzen Allgemeinheit durch die von mir dazu gegebnen Er- läuterungen schon vollkommen strenge — als aus unsern 28 fundamen- talen Festsetzungen formal folgende — begründet zu erachten seien.
Solche Begründung könnte pedantischer noch verlangt und beigebracht werden; bei wesentlichen Deduktionen werden wir ganz anders strenge — penibel formal — zuwerke gehen. Bei jenen Überlegungen aber ver- lohnte wol solches nicht; ich messe denselben fast nur die erziehliche Wir- kung bei, dass sie den Leser in den Stand setzen, sowol: die fehlenden drei viertel der Beweise, um deren Druckraum wir unser Buch entlasten müssen, gewünschtenfalles selbst beizubringen: als blosse Wiederholungen in der dualen oder konjugirten Umschreibung des Viertels der Beweise welches wir bringen, als auch: aus der von uns bewiesenen Formel eines jeden Quadrupels sich immer die drei andern direkt auf kürzestem Wege herzuleiten. Immerhin hoffe ich die beiden Prinzipien einleuchtend gemacht zu haben und kann versichern, dass sie bei längerer Praxis immer intui- tiver werden.
Das Prinzip des Dualismus — hier nur zufolge Hinzutretens der bei- den relativen Knüpfungen und Moduln unwesentlich in nahe liegender Weise, zu erweitern gewesen — ist dem Leser schon aus dem identischen Kalkul bekannt. Dass letzterm das Konjugationsprinzip fremd ist, liegt daran dass diese Disziplin keine nicht-kommutativen Spezies kennt. Im identischen Kalkul fallen konjugirte Formeln im Hinblick auf die Kommu- tationsgesetze jeweils in einen Satz zusammen, und sie würden auch in der Algebra der Relative in eine Formel zusammenfallen, wenn hier alle knüp-
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[94/0108]
Dritte Vorlesung.
ander niemals störenden Operationen oder Prozesse hintereinander ausgeführt
werden, als da sind: Vertauschung gewisser Knüpfungszeichen, nämlich Ver-
wandlung jedes Knüpfungszeichens in das andre von derselben Hauptstufe,
und: Rückwärtslesen des Ausdrucks, oder Umkehrung der Reihenfolge von
allen seinen Termen und den sie verbindenden Zeichen — worauf ja das
Dualisiren und das Konjugiren wesentlich hinauslief.
Durch beide Operationen, gleichviel in welcher Folge sie ausgeführt
werden, gelangt man — genau so wie in der Kinematik bei der Zu-
sammensetzung, dem „Parallelogramm der Bewegungen“ — von irgend
einer der vier Formeln unsres Quadrupels allemal zu der ihr diagonal
gegenüberstehenden — das eine mal über die eine, das andre mal über
die andre Ecke des Vierecks, d. h. eben vermittelst einer von den beiden
Formeln, die mit ihr in derselben Flucht stehen (auf derselben Zeile oder
aber in derselben Spalte).
So wichtig in praktischer Hinsicht diese Fingerzeige auch sein
mögen indem sie uns beinah drei viertel aller Deduktionsarbeit er-
sparen werden, bilden sie doch kein wesentliches Moment im deduktiven
Aufbaue unsrer Theorie selbst: die durch sie gesparte Arbeit könnte
ja in jedem Einzelfalle mit grösster Leichtigkeit geleistet werden! Es
ist darum kein grosses Gewicht darauf zu legen, ob etwa die vor-
stehend über Dualismus und Konjugation aufgestellten Behauptungen
in ihrer ganzen Allgemeinheit durch die von mir dazu gegebnen Er-
läuterungen schon vollkommen strenge — als aus unsern 28 fundamen-
talen Festsetzungen formal folgende — begründet zu erachten seien.
Solche Begründung könnte pedantischer noch verlangt und beigebracht
werden; bei wesentlichen Deduktionen werden wir ganz anders strenge
— penibel formal — zuwerke gehen. Bei jenen Überlegungen aber ver-
lohnte wol solches nicht; ich messe denselben fast nur die erziehliche Wir-
kung bei, dass sie den Leser in den Stand setzen, sowol: die fehlenden
drei viertel der Beweise, um deren Druckraum wir unser Buch entlasten
müssen, gewünschtenfalles selbst beizubringen: als blosse Wiederholungen
in der dualen oder konjugirten Umschreibung des Viertels der Beweise
welches wir bringen, als auch: aus der von uns bewiesenen Formel eines
jeden Quadrupels sich immer die drei andern direkt auf kürzestem Wege
herzuleiten. Immerhin hoffe ich die beiden Prinzipien einleuchtend gemacht
zu haben und kann versichern, dass sie bei längerer Praxis immer intui-
tiver werden.
Das Prinzip des Dualismus — hier nur zufolge Hinzutretens der bei-
den relativen Knüpfungen und Moduln unwesentlich in nahe liegender
Weise, zu erweitern gewesen — ist dem Leser schon aus dem identischen
Kalkul bekannt. Dass letzterm das Konjugationsprinzip fremd ist, liegt
daran dass diese Disziplin keine nicht-kommutativen Spezies kennt. Im
identischen Kalkul fallen konjugirte Formeln im Hinblick auf die Kommu-
tationsgesetze jeweils in einen Satz zusammen, und sie würden auch in der
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 94. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/108>, abgerufen am 25.11.2024.
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