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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

Gefunden habe ich die Lösung, indem ich die Aufgabengleichung rechts
auf 0 brachte, aus ihrem Polynome blos die Glieder hervorhob, welche ein
bestimmtes xl und dessen Negat xnl zum Faktor haben, -- ohne im Ansatz
der Koeffizienten dieser beiden Symbole ihre tautologische Wiederholung zu
scheuen, -- und endlich die so gewonnene Gleichung nach bekanntestem
Schema nach xl auflöste, rechterhand alle xl durch die entsprechenden ul
ersetzend.

Jeder Versuch, zur Lösung dieses Problems die bereits ermittelten
Lösungen der beiden vorhergehenden Aufgaben zu benutzen, scheint dagegen
in einen Zirkel zu führen.

Der Ausdruck unserer Unbekannten xl ist von der Form
a b + b g + g d = (a + g) (g + b) (b + d),
wonach auch deren Negat xnl in ähnlicher Form
an gn + gn bn + bn dn = (an + bn) (bn + gn) (gn + dn)
leicht hingeschrieben werden kann.

Eine beachtenswerte Vereinfachung des Ausdrucks für xl tritt ein
in dem Partikularfalle des Problems, wo alle bl = 1 sind. Alsdann
nämlich zieht sich der Koeffizient anl mit dem aus der vorhergehenden
Sn an stammenden al zu 1 zusammen, und es ergibt sich
xl = ul + Pk (ank + unk) · Sn an
als die symmetrisch allgemeine Lösung der Gleichung
Sl al xl = Sl al.

Aufgabe 21. Beliebig viel zu einander disjunkte Gebiete auf
die allgemeinste Weise zu bestimmen. (Erweiterung der Aufgabe 8
des § 24, Bd. 1, S. 509). Die Lösungen lauten:
x1 = u1 un2 un3 un4 ... + un1 u2 u3 u4 ...,
x2 = un1 u2 un3 un4 ... + u1 un2 u3 u4 ...,
x3 = un1 un2 u3 un4 ... + u1 u2 un3 u4 ...,
. . . . . . . . . . . .
Hier wird in der That xk xl = 0, sobald k l. Und wenn x1 x2,
x1 x3, x1 x4, ... x2 x3, ... = 0 ist, so muss auch
x1 = x1 xn2 xn3 xn4 ... + xn1 x2 x3 x4 ... = x1 xn2 xn3 xn4 ...
sein, indem das zweite Glied verschwindet, sodann wegen x1 xn2 auch
x1 xn2 = x1, etc. sein wird, u. s. w.

Aufgabe 22. (Verallgemeinerung der Bd. 1, S. 508 für n = 3
gelösten Aufgabe 7 des § 24.)
x1 xn2 xn3 ... xnn + xn1 x2 xn3 ... xnn + ... + xn1 xn2 xn3 ... xnn -- 1 xn = 0.

Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 28

§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

Gefunden habe ich die Lösung, indem ich die Aufgabengleichung rechts
auf 0 brachte, aus ihrem Polynome blos die Glieder hervorhob, welche ein
bestimmtes xλ und dessen Negat x̄λ zum Faktor haben, — ohne im Ansatz
der Koeffizienten dieser beiden Symbole ihre tautologische Wiederholung zu
scheuen, — und endlich die so gewonnene Gleichung nach bekanntestem
Schema nach xλ auflöste, rechterhand alle xλ durch die entsprechenden uλ
ersetzend.

Jeder Versuch, zur Lösung dieses Problems die bereits ermittelten
Lösungen der beiden vorhergehenden Aufgaben zu benutzen, scheint dagegen
in einen Zirkel zu führen.

Der Ausdruck unserer Unbekannten xλ ist von der Form
α β + β γ + γ δ = (α + γ) (γ + β) (β + δ),
wonach auch deren Negat x̄λ in ähnlicher Form
ᾱ γ̄ + γ̄ β̄ + β̄ δ̄ = (ᾱ + β̄) (β̄ + γ̄) (γ̄ + δ̄)
leicht hingeschrieben werden kann.

Eine beachtenswerte Vereinfachung des Ausdrucks für xλ tritt ein
in dem Partikularfalle des Problems, wo alle bλ = 1 sind. Alsdann
nämlich zieht sich der Koeffizient āλ mit dem aus der vorhergehenden
Σν aν stammenden aλ zu 1 zusammen, und es ergibt sich
xλ = uλ + Πϰ (āϰ + ūϰ) · Σν aν
als die symmetrisch allgemeine Lösung der Gleichung
Σλ aλ xλ = Σλ aλ.

Aufgabe 21. Beliebig viel zu einander disjunkte Gebiete auf
die allgemeinste Weise zu bestimmen. (Erweiterung der Aufgabe 8
des § 24, Bd. 1, S. 509). Die Lösungen lauten:
x1 = u1 ū2 ū3 ū4 … + ū1 u2 u3 u4 …,
x2 = ū1 u2 ū3 ū4 … + u1 ū2 u3 u4 …,
x3 = ū1 ū2 u3 ū4 … + u1 u2 ū3 u4 …,
. . . . . . . . . . . .
Hier wird in der That xϰ xλ = 0, sobald ϰ ≠ λ. Und wenn x1 x2,
x1 x3, x1 x4, … x2 x3, … = 0 ist, so muss auch
x1 = x1 x̄2 x̄3 x̄4 … + x̄1 x2 x3 x4 … = x1 x̄2 x̄3 x̄4 …
sein, indem das zweite Glied verschwindet, sodann wegen x1 x̄2 auch
x1 x̄2 = x1, etc. sein wird, u. s. w.

Aufgabe 22. (Verallgemeinerung der Bd. 1, S. 508 für n = 3
gelösten Aufgabe 7 des § 24.)
x1 x̄2 x̄3 … x̄n + x̄1 x2 x̄3 … x̄n + … + x̄1 x̄2 x̄3 … x̄n — 1 xn = 0.

Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 28

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[433/0077] § 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen. Gefunden habe ich die Lösung, indem ich die Aufgabengleichung rechts auf 0 brachte, aus ihrem Polynome blos die Glieder hervorhob, welche ein bestimmtes xλ und dessen Negat x̄λ zum Faktor haben, — ohne im Ansatz der Koeffizienten dieser beiden Symbole ihre tautologische Wiederholung zu scheuen, — und endlich die so gewonnene Gleichung nach bekanntestem Schema nach xλ auflöste, rechterhand alle xλ durch die entsprechenden uλ ersetzend. Jeder Versuch, zur Lösung dieses Problems die bereits ermittelten Lösungen der beiden vorhergehenden Aufgaben zu benutzen, scheint dagegen in einen Zirkel zu führen. Der Ausdruck unserer Unbekannten xλ ist von der Form α β + β γ + γ δ = (α + γ) (γ + β) (β + δ), wonach auch deren Negat x̄λ in ähnlicher Form ᾱ γ̄ + γ̄ β̄ + β̄ δ̄ = (ᾱ + β̄) (β̄ + γ̄) (γ̄ + δ̄) leicht hingeschrieben werden kann. Eine beachtenswerte Vereinfachung des Ausdrucks für xλ tritt ein in dem Partikularfalle des Problems, wo alle bλ = 1 sind. Alsdann nämlich zieht sich der Koeffizient āλ mit dem aus der vorhergehenden Σν aν stammenden aλ zu 1 zusammen, und es ergibt sich xλ = uλ + Πϰ (āϰ + ūϰ) · Σν aν als die symmetrisch allgemeine Lösung der Gleichung Σλ aλ xλ = Σλ aλ. Aufgabe 21. Beliebig viel zu einander disjunkte Gebiete auf die allgemeinste Weise zu bestimmen. (Erweiterung der Aufgabe 8 des § 24, Bd. 1, S. 509). Die Lösungen lauten: x1 = u1 ū2 ū3 ū4 … + ū1 u2 u3 u4 …, x2 = ū1 u2 ū3 ū4 … + u1 ū2 u3 u4 …, x3 = ū1 ū2 u3 ū4 … + u1 u2 ū3 u4 …, . . . . . . . . . . . . Hier wird in der That xϰ xλ = 0, sobald ϰ ≠ λ. Und wenn x1 x2, x1 x3, x1 x4, … x2 x3, … = 0 ist, so muss auch x1 = x1 x̄2 x̄3 x̄4 … + x̄1 x2 x3 x4 … = x1 x̄2 x̄3 x̄4 … sein, indem das zweite Glied verschwindet, sodann wegen x1 x̄2 auch x1 x̄2 = x1, etc. sein wird, u. s. w. Aufgabe 22. (Verallgemeinerung der Bd. 1, S. 508 für n = 3 gelösten Aufgabe 7 des § 24.) x1 x̄2 x̄3 … x̄n + x̄1 x2 x̄3 … x̄n + … + x̄1 x̄2 x̄3 … x̄n — 1 xn = 0. Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 28

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 433. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/77>, abgerufen am 16.02.2025.

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