Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Vierundzwanzigste Vorlesung.

Eine dritte Probe, nämlich die Prüfung unserer Lösungen 2) auf
die Symmetrie bezüglich der in der Problemstellung 1) zulässigen Ver-
tauschungen erledigt sich so. Die Gleichung 1) bleibt ungeändert (oder
geht nur in sich selbst über) durch die folgenden drei Systeme von
Vertauschungen
(x, y) (x₁, y₁), (x, y₁) (x₁, y), (x, x₁) (y, y₁).
Diese aber, mit
(u, v) (u₁, v₁), (u, v₁) (u₁, v), (u, u₁) (v, v₁)
und
(r, r₁), (s, s₁), (r, r₁) (s, s₁)
bezüglich verbunden, führen allemal das System 2) unserer Lösungen
nur in sich selbst über, wie man fast mühelos nachsieht.

Von den Bd. 1, S. 514 gefundenen Lôsungsformen
x = α c₁ + β c, y = α c₁ + β₁ c
aus konnte ich die Lösungsformen 2) systematisch entdecken, indem ich
zunächst — was etwas mühsam ist — aus den vorstehenden beiden Gleichungen
in Verbindung mit 1) das Symbol c eliminirte; aus der Resultante
0 = x₁ α β + x α₁ β₁ + y₁ α β₁ + y α₁ β + x₁ y₁ α + x y α₁ + x₁ y β + x y₁ β₁
hernach α oder β eliminirend gelangt man zu den Gleichungen
x₁ y₁ α + x y α₁ = 0, x₁ y β + x y₁ β₁ = 0,
deren Auflösung nach α, β
α = x y + s (x + y), β = x y₁ + r (x + y₁)
die allgemeinsten Werte zeigt, welche für die Parameter α, β zu setzen
sind, wenn man ein bestimmtes Paar von Wurzeln x, y erhalten will.
Wird in diesen nun u für x und v für y geschrieben, so ergibt sich durch
Einsetzen in die frühere Lösungsform notwendig eine solche, welche auch
die Adventivforderung erfüllt, nämlich (wenn noch vollends nach den u, v
entwickelt wird,) unsere Lösung 2).

Diese kann nun freilich noch vereinfacht werden. Nähme man z. B.
s = r, so käme
x = r u + (r + u) (c₁ v + c v₁),
y = v (c r₁ + c₁ r + c₁ u + c u₁) + c₁ r u + c r₁ u₁,
und ähnlich für s = r₁
x = u (c r + c₁ r₁ + c₁ v + c v₁) + c₁ r₁ v + c r v₁,
y = r₁ v + (r₁ + v) (c₁ u + c u₁);
noch einfacher hätte man für r, s gleich 0, 0, resp. 0, 1; 1, 0 oder 1, 1
die Systeme der Lösungen:

3)

x = u (c_1 v + c v_1) x = u v_1 + c_1 v x = u v + c v_1 x = u + c_1 v + c v_1 y = u v + c u_1 y = v + c_1 u + c u_1 y = v (c_1 u + c u_1) y = u_1 v + c_1 u x_1 = u_1 + c v + c_1 v_1 x_1 = u_1 v_1 + c v x_1 = u_1 v + c_1 v_1 x_1 = u_1 (c v + c_1 v_1) y_1 = u v_1 + c_1 u_1 y_1 = v_1 (c u + c_1 u_1) y_1 = v_1 + c u + c_1 u_1 y_1 = u_1 v_1 + c u