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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anmerkungen des Herausgebers.
Seite 423, oben Zeile 4. Der hier gegebene
Beweis des Distributionssatzes aus
III°x und III°+ zusammen entstammt
einem Brief des Herrn Korselt an
den Verfasser aus dem Jahre 1895.
Dass indessen beide Prinzipien
unentbehrlich seien (wenn man
absieht vom Dualitätssatz, vergl.
die Anm. oben Seite 593), trifft
nicht zu und ist auch bald darauf
von Herrn Korselt selbst in
einer weiteren brieflichen Mit-
teilung an den Verfasser wider-
legt worden. Aus einem späteren
ausführlicheren Briefe von 1899,
den ich, wie auch die beiden
erstgenannten von 1895, bei den
hinterlassenen Papieren des Ver-
[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 45.
fassers aufgefunden habe, sei hier der wesentliche Teil des Beweises
wiedergegeben, wenn auch, mit freundlicher Erlaubniss des Urhebers,
in einer den Schröderschen Gewohnheiten mehr angepassten Dar-
stellungsweise. Es werden aus III°x und den in Band 1, Seite 299
bis 306 darauf gegründeten Theoremen 29), 30), 31) und 32) zunächst
die De Morganschen Theoreme 36) in eigenartiger Weise hergeleitet,
nämlich mit viermaliger Anwendung des Prinzips III°x, -- welches dabei
am bequemsten in der Gestalt a = a b + a b1 (Band 1, Seite 294, An-
merkung 2) geschrieben wird, -- derart, dass immer einer der beiden
Posten rechts verschwindet. -- So folgt
aus III°x und 30x) a = a · a1 b1 + a (a1 b1)1 = a (a1 b1)1,
nach 20x) a (a1 b1)1 und ebenso b (a1 b1)1,
und nach (3+)a + b (a1 b1)1.a)
Multiplizirt man in dieser Subsumtion beiderseits mit a1 b1, so wird
nach 30x) und 5x)
(a + b) a1 b1 = 0,
wonach wieder in der folgenden Anwendung des Prinzips III°x rechts
das erste Glied fortfällt:
a1 b1 = a1 b1 (a + b) + a1 b1 (a + b)1 = a1 b1 (a + b)1
und nach 20x)a1 b1 (a + b)1.b)
Eine zweite ähnliche Reihe von Folgerungen erhält man aus der weiteren
Anwendung von III°x:
(a + b)1 = (a + b)1 a + (a + b)1 a1,
wo nämlich das erste Glied rechts wieder wegfällt wegen 23x)
(a + b)1 a = (a + b)1 a (a + b) = 0,
und somit (a + b)1 = (a + b)1 a1,
oder nach 20x) (a + b)1 a1, ebenso (a + b)1 b1,
endlich nach (3x)(a + b)1 a1 b1g)
wird. Hier multipliziren wir beiderseits mit (a1 b1)1, um so wieder
(a + b)1 (a1 b1)1 = 0
das zweite Glied der Entwicklung von (a1 b1)1 nach dem Prinzip III°x ver-
schwinden zu sehen,
(a1 b1)1 = (a1 b1)1 (a + b) + (a1 b1)1 (a + b)1 = (a1 b1)1 (a + b),
woraus man wieder nach 20x) findet
(a1 b1)1 a + b.d)
Anmerkungen des Herausgebers.
Seite 423, oben Zeile 4. Der hier gegebene
Beweis des Distributionssatzes aus
III°× und III°+ zusammen entstammt
einem Brief des Herrn Korselt an
den Verfasser aus dem Jahre 1895.
Dass indessen beide Prinzipien
unentbehrlich seien (wenn man
absieht vom Dualitätssatz, vergl.
die Anm. oben Seite 593), trifft
nicht zu und ist auch bald darauf
von Herrn Korselt selbst in
einer weiteren brieflichen Mit-
teilung an den Verfasser wider-
legt worden. Aus einem späteren
ausführlicheren Briefe von 1899,
den ich, wie auch die beiden
erstgenannten von 1895, bei den
hinterlassenen Papieren des Ver-
[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 45.
fassers aufgefunden habe, sei hier der wesentliche Teil des Beweises
wiedergegeben, wenn auch, mit freundlicher Erlaubniss des Urhebers,
in einer den Schröderschen Gewohnheiten mehr angepassten Dar-
stellungsweise. Es werden aus III°× und den in Band 1, Seite 299
bis 306 darauf gegründeten Theoremen 29), 30), 31) und 32) zunächst
die De Morganschen Theoreme 36) in eigenartiger Weise hergeleitet,
nämlich mit viermaliger Anwendung des Prinzips III°×, — welches dabei
am bequemsten in der Gestalt a = a b + a b1 (Band 1, Seite 294, An-
merkung 2) geschrieben wird, — derart, dass immer einer der beiden
Posten rechts verschwindet. — So folgt
aus III°× und 30×) a = a · a1 b1 + a (a1 b1)1 = a (a1 b1)1,
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Multiplizirt man in dieser Subsumtion beiderseits mit a1 b1, so wird
nach 30×) und 5×)
(a + b) a1 b1 = 0,
wonach wieder in der folgenden Anwendung des Prinzips III°× rechts
das erste Glied fortfällt:
a1 b1 = a1 b1 (a + b) + a1 b1 (a + b)1 = a1 b1 (a + b)1
und nach 20×)a1 b1 (a + b)1.β)
Eine zweite ähnliche Reihe von Folgerungen erhält man aus der weiteren
Anwendung von III°×:
(a + b)1 = (a + b)1 a + (a + b)1 a1,
wo nämlich das erste Glied rechts wieder wegfällt wegen 23×)
(a + b)1 a = (a + b)1 a (a + b) = 0,
und somit (a + b)1 = (a + b)1 a1,
oder nach 20×) (a + b)1 a1, ebenso (a + b)1 b1,
endlich nach (3×)(a + b)1 a1 b1γ)
wird. Hier multipliziren wir beiderseits mit (a1 b1)1, um so wieder
(a + b)1 (a1 b1)1 = 0
das zweite Glied der Entwicklung von (a1 b1)1 nach dem Prinzip III°× ver-
schwinden zu sehen,
(a1 b1)1 = (a1 b1)1 (a + b) + (a1 b1)1 (a + b)1 = (a1 b1)1 (a + b),
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[596/0240] Anmerkungen des Herausgebers. Seite 423, oben Zeile 4. Der hier gegebene Beweis des Distributionssatzes aus III°× und III°+ zusammen entstammt einem Brief des Herrn Korselt an den Verfasser aus dem Jahre 1895. Dass indessen beide Prinzipien unentbehrlich seien (wenn man absieht vom Dualitätssatz, vergl. die Anm. oben Seite 593), trifft nicht zu und ist auch bald darauf von Herrn Korselt selbst in einer weiteren brieflichen Mit- teilung an den Verfasser wider- legt worden. Aus einem späteren ausführlicheren Briefe von 1899, den ich, wie auch die beiden erstgenannten von 1895, bei den hinterlassenen Papieren des Ver- [Abbildung] [Abbildung Fig. 45.] fassers aufgefunden habe, sei hier der wesentliche Teil des Beweises wiedergegeben, wenn auch, mit freundlicher Erlaubniss des Urhebers, in einer den Schröderschen Gewohnheiten mehr angepassten Dar- stellungsweise. Es werden aus III°× und den in Band 1, Seite 299 bis 306 darauf gegründeten Theoremen 29), 30), 31) und 32) zunächst die De Morganschen Theoreme 36) in eigenartiger Weise hergeleitet, nämlich mit viermaliger Anwendung des Prinzips III°×, — welches dabei am bequemsten in der Gestalt a = a b + a b1 (Band 1, Seite 294, An- merkung 2) geschrieben wird, — derart, dass immer einer der beiden Posten rechts verschwindet. — So folgt aus III°× und 30×) a = a · a1 b1 + a (a1 b1)1 = a (a1 b1)1, nach 20×) a (a1 b1)1 und ebenso b (a1 b1)1, und nach (3+) a + b (a1 b1)1. α) Multiplizirt man in dieser Subsumtion beiderseits mit a1 b1, so wird nach 30×) und 5×) (a + b) a1 b1 = 0, wonach wieder in der folgenden Anwendung des Prinzips III°× rechts das erste Glied fortfällt: a1 b1 = a1 b1 (a + b) + a1 b1 (a + b)1 = a1 b1 (a + b)1 und nach 20×) a1 b1 (a + b)1. β) Eine zweite ähnliche Reihe von Folgerungen erhält man aus der weiteren Anwendung von III°×: (a + b)1 = (a + b)1 a + (a + b)1 a1, wo nämlich das erste Glied rechts wieder wegfällt wegen 23×) (a + b)1 a = (a + b)1 a (a + b) = 0, und somit (a + b)1 = (a + b)1 a1, oder nach 20×) (a + b)1 a1, ebenso (a + b)1 b1, endlich nach (3×) (a + b)1 a1 b1 γ) wird. Hier multipliziren wir beiderseits mit (a1 b1)1, um so wieder (a + b)1 (a1 b1)1 = 0 das zweite Glied der Entwicklung von (a1 b1)1 nach dem Prinzip III°× ver- schwinden zu sehen, (a1 b1)1 = (a1 b1)1 (a + b) + (a1 b1)1 (a + b)1 = (a1 b1)1 (a + b), woraus man wieder nach 20×) findet (a1 b1)1 a + b. δ)

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 596. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/240>, abgerufen am 26.11.2024.