Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Anhang 8.

geometrischen Systeme eine "erweiterte Gerade", deren Punkte sämtlich
"bedingte" Triaden (vergl. kh)) bilden; eine solche erweiterte Gerade ist
als eine geschlossene Linie zu denken, welche auf unbegrenzt viele
Arten in zwei gewöhnliche gerade Linien auseinander fallen kann.
Ebenso, während von den Punkten einer Ebene jede Tetrade eine
flache Tetrade ist, werden die Punkte einer erweiterten Ebene stets
zu bedingten Tetraden zusammentreten. -- Einem flachen n-dimen-
sionalen Raum, dessen Punkte zu je n + 2 ein flaches System zusammen-
setzen, wird ein erweiterter oder bedingter n-dimensionaler Raum ent-
sprechen, in welchem je n + 2 Punkte einem bedingten System an-
gehören.

Es ist hervorzuheben, dass im Gegensatz zu der gewöhnlichen
analytischen Geometrie die hiermit angebahnte Rechnung mit Punkten
und Punktsystemen nichts zu thun hat mit Grössen irgend welcher Art.

Nach Darlegung des Kempe'schen Gedankenganges sollen nun --
der mutmasslichen Absicht des Verfassers möglichst entsprechend --
einige Ausführungen zur Vervollständigung des vorstehenden, ins-
besondere zum Nachweis einiger Sätze (Seite 570, 578 u. 581) sich
hier anschliessen.

Es handelt sich vorzugsweise um Eigenschaften eines linearen
Punktsystems, hierauf auch um diejenigen eines geometrischen und eines
erweiterten geometrischen Systems. In einem linearen Punktsystem ist,
wie oben Seite 578 angegeben, für zwei beliebige Systempunkte a
und b, vorausgesetzt a b oder (a · b), (cf. t), für deren drei a, b, c
neben der durchgängigen Verschiedenheit noch:
(a · b · c), = (a b · c) + (a c · b) + (b c · a)
(cf. ph), wobei wegen t) (a b · c) (a c · b) = (b · c) somit von den drei
linearen Triaden a b · c, a c · b, b c · a eine und nur eine bestehen soll, --
während endlich für vier Punkte a, b, c, d mit
(a · b) (a · c) (a · d) (b · c) (b · d) (c · d) (a · b · c) (a · b · d) (a · c · d) (b · c · d)
die Voraussetzung, dass die vier Punkte einem linearen System angehören,
ihren vollständigen Ausdruck findet, worin die Tetrade kollinearer
Triaden vermöge der sechs vorausgehenden Ungleichungen nur eine
Tetrade linearer Triaden bedeutet.

Wir denken uns nun, -- um den Satz K 128, Seite 578 zu
beweisen, -- eine jede von den 4 x 3 denkbaren linearen Triaden der
vier Punkte a, b, c, d nach dem nicht darin vorkommenden vierten
Element entwickelt, wie z. B. (a b · c) = (a b · c d) (a b d · c), d. h. dar-

Anhang 8.

geometrischen Systeme eine „erweiterte Gerade“, deren Punkte sämtlich
„bedingte“ Triaden (vergl. χ)) bilden; eine solche erweiterte Gerade ist
als eine geschlossene Linie zu denken, welche auf unbegrenzt viele
Arten in zwei gewöhnliche gerade Linien auseinander fallen kann.
Ebenso, während von den Punkten einer Ebene jede Tetrade eine
flache Tetrade ist, werden die Punkte einer erweiterten Ebene stets
zu bedingten Tetraden zusammentreten. — Einem flachen n-dimen-
sionalen Raum, dessen Punkte zu je n + 2 ein flaches System zusammen-
setzen, wird ein erweiterter oder bedingter n-dimensionaler Raum ent-
sprechen, in welchem je n + 2 Punkte einem bedingten System an-
gehören.

Es ist hervorzuheben, dass im Gegensatz zu der gewöhnlichen
analytischen Geometrie die hiermit angebahnte Rechnung mit Punkten
und Punktsystemen nichts zu thun hat mit Grössen irgend welcher Art.

Nach Darlegung des Kempe’schen Gedankenganges sollen nun —
der mutmasslichen Absicht des Verfassers möglichst entsprechend —
einige Ausführungen zur Vervollständigung des vorstehenden, ins-
besondere zum Nachweis einiger Sätze (Seite 570, 578 u. 581) sich
hier anschliessen.

Es handelt sich vorzugsweise um Eigenschaften eines linearen
Punktsystems, hierauf auch um diejenigen eines geometrischen und eines
erweiterten geometrischen Systems. In einem linearen Punktsystem ist,
wie oben Seite 578 angegeben, für zwei beliebige Systempunkte a
und b, vorausgesetzt a ≠ b oder (a̅ ·̅ b̅), (cf. τ), für deren drei a, b, c
neben der durchgängigen Verschiedenheit noch:
(a · b · c), = (a b · c) + (a c · b) + (b c · a)
(cf. φ), wobei wegen τ) (a b · c) (a c · b) = (b · c) somit von den drei
linearen Triaden a b · c, a c · b, b c · a eine und nur eine bestehen soll, —
während endlich für vier Punkte a, b, c, d mit
(a̅ ·̅ b̅) (a̅ ·̅ c̅) (a̅ ·̅ d̅) (b̅ ·̅ c̅) (b̅ ·̅ d̅) (c̅ ·̅ d̅) (a · b · c) (a · b · d) (a · c · d) (b · c · d)
die Voraussetzung, dass die vier Punkte einem linearen System angehören,
ihren vollständigen Ausdruck findet, worin die Tetrade kollinearer
Triaden vermöge der sechs vorausgehenden Ungleichungen nur eine
Tetrade linearer Triaden bedeutet.

Wir denken uns nun, — um den Satz K 128, Seite 578 zu
beweisen, — eine jede von den 4 × 3 denkbaren linearen Triaden der
vier Punkte a, b, c, d nach dem nicht darin vorkommenden vierten
Element entwickelt, wie z. B. (a b · c) = (a b · c d) (a b d · c), d. h. dar-

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0226" n="582"/><fw place="top" type="header">Anhang 8.</fw><lb/>
geometrischen Systeme eine &#x201E;erweiterte Gerade&#x201C;, deren Punkte sämtlich<lb/>
&#x201E;bedingte&#x201C; Triaden (vergl. <hi rendition="#i">&#x03C7;</hi>)) bilden; eine solche erweiterte Gerade ist<lb/>
als eine geschlossene Linie zu denken, welche auf unbegrenzt viele<lb/>
Arten in zwei gewöhnliche gerade Linien auseinander fallen kann.<lb/>
Ebenso, während von den Punkten einer Ebene jede Tetrade eine<lb/>
flache Tetrade ist, werden die Punkte einer erweiterten Ebene stets<lb/>
zu bedingten Tetraden zusammentreten. &#x2014; Einem flachen <hi rendition="#i">n</hi>-dimen-<lb/>
sionalen Raum, dessen Punkte zu je <hi rendition="#i">n</hi> + 2 ein flaches System zusammen-<lb/>
setzen, wird ein erweiterter oder bedingter <hi rendition="#i">n</hi>-dimensionaler Raum ent-<lb/>
sprechen, in welchem je <hi rendition="#i">n</hi> + 2 Punkte einem bedingten System an-<lb/>
gehören.</p><lb/>
          <p>Es ist hervorzuheben, dass im Gegensatz zu der gewöhnlichen<lb/>
analytischen Geometrie die hiermit angebahnte Rechnung mit Punkten<lb/>
und Punktsystemen nichts zu thun hat mit <hi rendition="#i">Grössen</hi> irgend welcher Art.</p><lb/>
          <p>Nach Darlegung des <hi rendition="#g">Kempe&#x2019;</hi>schen Gedankenganges sollen nun &#x2014;<lb/>
der mutmasslichen Absicht des Verfassers möglichst entsprechend &#x2014;<lb/>
einige Ausführungen zur Vervollständigung des vorstehenden, ins-<lb/>
besondere zum Nachweis einiger Sätze (Seite 570, 578 u. 581) sich<lb/>
hier anschliessen.</p><lb/>
          <p>Es handelt sich vorzugsweise um Eigenschaften eines <hi rendition="#i">linearen</hi><lb/>
Punktsystems, hierauf auch um diejenigen eines <hi rendition="#i">geometrischen</hi> und eines<lb/><hi rendition="#i">erweiterten geometrischen</hi> Systems. In einem linearen Punktsystem ist,<lb/>
wie oben Seite 578 angegeben, für zwei beliebige Systempunkte <hi rendition="#i">a</hi><lb/>
und <hi rendition="#i">b</hi>, vorausgesetzt <hi rendition="#i">a</hi> &#x2260; <hi rendition="#i">b</hi> oder (<hi rendition="#i">a&#x0305;</hi> ·&#x0305; <hi rendition="#i">b&#x0305;</hi>), (cf. <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi>), für deren drei <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi><lb/>
neben der durchgängigen Verschiedenheit noch:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> · <hi rendition="#i">b</hi> · <hi rendition="#i">c</hi>), = (<hi rendition="#i">a b</hi> · <hi rendition="#i">c</hi>) + (<hi rendition="#i">a c</hi> · <hi rendition="#i">b</hi>) + (<hi rendition="#i">b c</hi> · <hi rendition="#i">a</hi>)</hi><lb/>
(cf. <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi>), wobei wegen <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi>) (<hi rendition="#i">a b</hi> · <hi rendition="#i">c</hi>) (<hi rendition="#i">a c</hi> · <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">b</hi> · <hi rendition="#i">c</hi>) somit von den drei<lb/>
linearen Triaden <hi rendition="#i">a b</hi> · <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">a c</hi> · <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">b c</hi> · <hi rendition="#i">a</hi> eine und nur eine bestehen soll, &#x2014;<lb/>
während endlich für vier Punkte <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">d</hi> mit<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a&#x0305;</hi> ·&#x0305; <hi rendition="#i">b&#x0305;</hi>) (<hi rendition="#i">a&#x0305;</hi> ·&#x0305; <hi rendition="#i">c&#x0305;</hi>) (<hi rendition="#i">a&#x0305;</hi> ·&#x0305; <hi rendition="#i">d&#x0305;</hi>) (<hi rendition="#i">b&#x0305;</hi> ·&#x0305; <hi rendition="#i">c&#x0305;</hi>) (<hi rendition="#i">b&#x0305;</hi> ·&#x0305; <hi rendition="#i">d&#x0305;</hi>) (<hi rendition="#i">c&#x0305;</hi> ·&#x0305; <hi rendition="#i">d&#x0305;</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> · <hi rendition="#i">b</hi> · <hi rendition="#i">c</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> · <hi rendition="#i">b</hi> · <hi rendition="#i">d</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> · <hi rendition="#i">c</hi> · <hi rendition="#i">d</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> · <hi rendition="#i">c</hi> · <hi rendition="#i">d</hi>)</hi><lb/>
die Voraussetzung, dass die vier Punkte einem linearen System angehören,<lb/>
ihren vollständigen Ausdruck findet, worin die Tetrade <hi rendition="#i">kollinearer</hi><lb/>
Triaden vermöge der sechs vorausgehenden Ungleichungen nur eine<lb/>
Tetrade <hi rendition="#i">linearer</hi> Triaden bedeutet.</p><lb/>
          <p>Wir denken uns nun, &#x2014; um den Satz <hi rendition="#fr">K</hi> 128, Seite 578 zu<lb/>
beweisen, &#x2014; eine jede von den 4 × 3 denkbaren linearen Triaden der<lb/>
vier Punkte <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">d</hi> nach dem nicht darin vorkommenden vierten<lb/>
Element entwickelt, wie z. B. (<hi rendition="#i">a b</hi> · <hi rendition="#i">c</hi>) = (<hi rendition="#i">a b</hi> · <hi rendition="#i">c d</hi>) (<hi rendition="#i">a b d</hi> · <hi rendition="#i">c</hi>), d. h. dar-<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[582/0226] Anhang 8. geometrischen Systeme eine „erweiterte Gerade“, deren Punkte sämtlich „bedingte“ Triaden (vergl. χ)) bilden; eine solche erweiterte Gerade ist als eine geschlossene Linie zu denken, welche auf unbegrenzt viele Arten in zwei gewöhnliche gerade Linien auseinander fallen kann. Ebenso, während von den Punkten einer Ebene jede Tetrade eine flache Tetrade ist, werden die Punkte einer erweiterten Ebene stets zu bedingten Tetraden zusammentreten. — Einem flachen n-dimen- sionalen Raum, dessen Punkte zu je n + 2 ein flaches System zusammen- setzen, wird ein erweiterter oder bedingter n-dimensionaler Raum ent- sprechen, in welchem je n + 2 Punkte einem bedingten System an- gehören. Es ist hervorzuheben, dass im Gegensatz zu der gewöhnlichen analytischen Geometrie die hiermit angebahnte Rechnung mit Punkten und Punktsystemen nichts zu thun hat mit Grössen irgend welcher Art. Nach Darlegung des Kempe’schen Gedankenganges sollen nun — der mutmasslichen Absicht des Verfassers möglichst entsprechend — einige Ausführungen zur Vervollständigung des vorstehenden, ins- besondere zum Nachweis einiger Sätze (Seite 570, 578 u. 581) sich hier anschliessen. Es handelt sich vorzugsweise um Eigenschaften eines linearen Punktsystems, hierauf auch um diejenigen eines geometrischen und eines erweiterten geometrischen Systems. In einem linearen Punktsystem ist, wie oben Seite 578 angegeben, für zwei beliebige Systempunkte a und b, vorausgesetzt a ≠ b oder (a̅ ·̅ b̅), (cf. τ), für deren drei a, b, c neben der durchgängigen Verschiedenheit noch: (a · b · c), = (a b · c) + (a c · b) + (b c · a) (cf. φ), wobei wegen τ) (a b · c) (a c · b) = (b · c) somit von den drei linearen Triaden a b · c, a c · b, b c · a eine und nur eine bestehen soll, — während endlich für vier Punkte a, b, c, d mit (a̅ ·̅ b̅) (a̅ ·̅ c̅) (a̅ ·̅ d̅) (b̅ ·̅ c̅) (b̅ ·̅ d̅) (c̅ ·̅ d̅) (a · b · c) (a · b · d) (a · c · d) (b · c · d) die Voraussetzung, dass die vier Punkte einem linearen System angehören, ihren vollständigen Ausdruck findet, worin die Tetrade kollinearer Triaden vermöge der sechs vorausgehenden Ungleichungen nur eine Tetrade linearer Triaden bedeutet. Wir denken uns nun, — um den Satz K 128, Seite 578 zu beweisen, — eine jede von den 4 × 3 denkbaren linearen Triaden der vier Punkte a, b, c, d nach dem nicht darin vorkommenden vierten Element entwickelt, wie z. B. (a b · c) = (a b · c d) (a b d · c), d. h. dar-

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/226
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 582. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/226>, abgerufen am 25.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.