Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Anhang 8.

Geraden a d und b c innerhalb der Strecke b c und in der Verlängerung
der Strecke a d über d hinaus, nach Gesetz II. — Fallen von drei
kollinearen Punkten zwei zusammen, und sind es die beiden geraden

[Abbildung]

[Abbildung] Fig. 39

oder Aussenpunkte, so muss der Zwischen-
punkt ebenfalls mit ihnen zusammenfallen;
fällt aber der Zwischenpunkt mit einem
Aussenpunkt zusammen, so ist der andere
Aussenpunkt beliebig, es liegt dann jeder
Punkt mit den beiden ersteren in einer Ge-
raden; — bekannte Thatsachen, welche mit
Law III und IV ausgesprochen sind.

Um nun — wenigstens für die ein-
fachsten Fälle eines Euklidischen Raumes
— auch zu zeigen, wie die Grundgesetze,
welche im wesentlichen den Begriff der linearen Triade konstituiren,
nicht nur notwendig zutreffen, sondern auch hinreichen zur Bestimmung
der grundlegenden geometrischen Gebilde, wird hingewiesen auf die
Kollinearität von Punkten als Bedingung der Lage von Punkten auf
einer Ebene, in einem flachen dreidimensionalen Raum und auf einem
Kegelschnitt:

Die (notwendige und hinreichende) Bedingung, dass die vier
Punkte a, b, c, d koplanar sind, ist, dass sich die Geraden a b und c d
schneiden (in einem Punkt p):
(a · b · c · d) = [Formel 1] (a · b · p) (c · d · p);
sollen ferner die fünf Punkte a, b, c, d, e einem Euklidischen Raum
von drei Dimensionen angehören, so muss man durch einen e der
Punkte eine Gerade legen können, welche die beiden Geraden a b
und c d der Paare der übrigen Punkte schneidet (in zwei Punkten l
und m):
(a · b · c · d · e) = [Formel 2] (a · b · l) (c · d · m) (l · m · e);
sollen endlich die sechs Punkte a, b, c, d, e, f auf einem Kegelschnitt
liegen, so müssen die drei Schnittpunkte l, m, n der drei Gegenseitenpaare
ihres Sechseckes in einer Geraden liegen, — es müssen die sieben
kollinearen Triaden bestehen:
a · b · l, d · e · l, b · c · m, e · f · m, c · d · n, f · a · n, l · m · n.

Nach einigen Andeutungen (K 149) über eine „Algebra“ der
kollinearen Punkte, der Punkte eines geometrischen Systems, — von
gleichem Charakter wie die „Algebra der Grössen“, und ähnlich der