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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 8.

Während diese vier ersten Grundgesetze festsetzen, was aus der
Übereinstimmung zweier Elemente zwischen zwei linearen Triaden,
bezw. innerhalb einer einzigen zu schliessen ist, werden hieraus zu-
nächst die Ergebnisse aus zwei und drei Triaden mit mehr als einem
gemeinsamen Element hergeleitet:

K 7.(a c · b) (b c · a) = (a = b)(vergl. oben t)
K 8.(a b · c) (b c · d) = (a b · d) (a d · c)
K 9.(a b · c) (a b · d) (c d · e) (a b · e)
K 10.(a b · d) (a c · e) (d e · b) (c d · b)
K 11.(a b · d) (a c · d) (b c · e) (a e · d).

Zur Bestätigung dieser Sätze wird man wol am einfachsten, ähnlich
wie schon oben in t) für K 7, jede Triade nach allen im Satz vorkommenden
Elementen gemäss t) entwickeln, wonach man z. B in K 8 links und rechts
des Gleichheitszeichens dieselben vier Entwicklungsfaktoren
(a b d · c) (a b · c d) (a b c · d) (a d · b c)
erhält, während -- für K 9 -- von den vier Entwicklungsfaktoren des
Subsumtionsprädikats
(a b · e) = (4 · e) (3 · c e) (3 · d e) (a b · 3)
offenbar jeder in der Entwicklung wenigstens einer der drei Subjekt-Triaden
vorkommt:
(a b · c) (3 · c e) (a b · 3), (a b · d) (3 · d e) (a b · 3), (c d · e) (4 · e);
usw.

Diese fünf Theoreme K 7--11 nebst den Voraussetzungen Law I--IV
genügen nun zum Nachweis folgender Thatsachen: Ein Element x ist
vermöge des Zusammenbestehens der drei linearen Triaden a b · x, b c · x,
c a · x in eindeutig bestimmter Weise abhängig von a, b und c, und
zwar hat diese Funktion x gerade diejenigen Eigenschaften, welche
wir unter a) und b) dem Ausdruck a b + b c + c a, dem "symmetrischen
Erzeugniss" [a b c] zuzuschreiben hatten (K 12--19). Desgleichen wird
sodann eine andere Funktion y von a, b, c, das "unsymmetrische
Triaden-Erzeugniss" y = {a b, c}, durch die gleichzeitig bestehenden
Triaden a b · y, c y · a, c y · b definirt und diskutirt.

Bestätigend rechnet man leicht nach:
(a b · x) (b c · x) (c a · x) = {(a1 b1 + b1 c1 + c1 a1) x + (a b + b c + c a) x1 = 0}
= {[a b c]1 x + [a b c] x1 = 0},
worin die Koeffizienten von x und x1 Negationen (oder "obvers", vergl.
oben o)) zu einander sind; es folgt daher (nach Bd. 1, Seite 463)
x = [a b c] = a b + b c + c a. Usw.

Anhang 8.

Während diese vier ersten Grundgesetze festsetzen, was aus der
Übereinstimmung zweier Elemente zwischen zwei linearen Triaden,
bezw. innerhalb einer einzigen zu schliessen ist, werden hieraus zu-
nächst die Ergebnisse aus zwei und drei Triaden mit mehr als einem
gemeinsamen Element hergeleitet:

K 7.(a c · b) (b c · a) = (a = b)(vergl. oben τ)
K 8.(a b · c) (b c · d) = (a b · d) (a d · c)
K 9.(a b · c) (a b · d) (c d · e) (a b · e)
K 10.(a b · d) (a c · e) (d e · b) (c d · b)
K 11.(a b · d) (a c · d) (b c · e) (a e · d).

Zur Bestätigung dieser Sätze wird man wol am einfachsten, ähnlich
wie schon oben in τ) für K 7, jede Triade nach allen im Satz vorkommenden
Elementen gemäss τ) entwickeln, wonach man z. B in K 8 links und rechts
des Gleichheitszeichens dieselben vier Entwicklungsfaktoren
(a b d · c) (a b · c d) (a b c · d) (a d · b c)
erhält, während — für K 9 — von den vier Entwicklungsfaktoren des
Subsumtionsprädikats
(a b · e) = (4 · e) (3 · c e) (3 · d e) (a b · 3)
offenbar jeder in der Entwicklung wenigstens einer der drei Subjekt-Triaden
vorkommt:
(a b · c) (3 · c e) (a b · 3), (a b · d) (3 · d e) (a b · 3), (c d · e) (4 · e);
usw.

Diese fünf Theoreme K 7—11 nebst den Voraussetzungen Law I—IV
genügen nun zum Nachweis folgender Thatsachen: Ein Element x ist
vermöge des Zusammenbestehens der drei linearen Triaden a b · x, b c · x,
c a · x in eindeutig bestimmter Weise abhängig von a, b und c, und
zwar hat diese Funktion x gerade diejenigen Eigenschaften, welche
wir unter α) und β) dem Ausdruck a b + b c + c a, dem „symmetrischen
Erzeugniss“ [a b c] zuzuschreiben hatten (K 12—19). Desgleichen wird
sodann eine andere Funktion y von a, b, c, das „unsymmetrische
Triaden-Erzeugniss“ y = {a b, c}, durch die gleichzeitig bestehenden
Triaden a b · y, c y · a, c y · b definirt und diskutirt.

Bestätigend rechnet man leicht nach:
(a b · x) (b c · x) (c a · x) = {(a1 b1 + b1 c1 + c1 a1) x + (a b + b c + c a) x1 = 0}
= {[a b c]1 x + [a b c] x1 = 0},
worin die Koeffizienten von x und x1 Negationen (oder „obvers“, vergl.
oben ο)) zu einander sind; es folgt daher (nach Bd. 1, Seite 463)
x = [a b c] = a b + b c + c a. Usw.

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[576/0220] Anhang 8. Während diese vier ersten Grundgesetze festsetzen, was aus der Übereinstimmung zweier Elemente zwischen zwei linearen Triaden, bezw. innerhalb einer einzigen zu schliessen ist, werden hieraus zu- nächst die Ergebnisse aus zwei und drei Triaden mit mehr als einem gemeinsamen Element hergeleitet: K 7. (a c · b) (b c · a) = (a = b) (vergl. oben τ) K 8. (a b · c) (b c · d) = (a b · d) (a d · c) K 9. (a b · c) (a b · d) (c d · e) (a b · e) K 10. (a b · d) (a c · e) (d e · b) (c d · b) K 11. (a b · d) (a c · d) (b c · e) (a e · d). Zur Bestätigung dieser Sätze wird man wol am einfachsten, ähnlich wie schon oben in τ) für K 7, jede Triade nach allen im Satz vorkommenden Elementen gemäss τ) entwickeln, wonach man z. B in K 8 links und rechts des Gleichheitszeichens dieselben vier Entwicklungsfaktoren (a b d · c) (a b · c d) (a b c · d) (a d · b c) erhält, während — für K 9 — von den vier Entwicklungsfaktoren des Subsumtionsprädikats (a b · e) = (4 · e) (3 · c e) (3 · d e) (a b · 3) offenbar jeder in der Entwicklung wenigstens einer der drei Subjekt-Triaden vorkommt: (a b · c) (3 · c e) (a b · 3), (a b · d) (3 · d e) (a b · 3), (c d · e) (4 · e); usw. Diese fünf Theoreme K 7—11 nebst den Voraussetzungen Law I—IV genügen nun zum Nachweis folgender Thatsachen: Ein Element x ist vermöge des Zusammenbestehens der drei linearen Triaden a b · x, b c · x, c a · x in eindeutig bestimmter Weise abhängig von a, b und c, und zwar hat diese Funktion x gerade diejenigen Eigenschaften, welche wir unter α) und β) dem Ausdruck a b + b c + c a, dem „symmetrischen Erzeugniss“ [a b c] zuzuschreiben hatten (K 12—19). Desgleichen wird sodann eine andere Funktion y von a, b, c, das „unsymmetrische Triaden-Erzeugniss“ y = {a b, c}, durch die gleichzeitig bestehenden Triaden a b · y, c y · a, c y · b definirt und diskutirt. Bestätigend rechnet man leicht nach: (a b · x) (b c · x) (c a · x) = {(a1 b1 + b1 c1 + c1 a1) x + (a b + b c + c a) x1 = 0} = {[a b c]1 x + [a b c] x1 = 0}, worin die Koeffizienten von x und x1 Negationen (oder „obvers“, vergl. oben ο)) zu einander sind; es folgt daher (nach Bd. 1, Seite 463) x = [a b c] = a b + b c + c a. Usw.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 576. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/220>, abgerufen am 24.11.2024.