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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

"Law III". (a b · c) (a = b) (a = b = c),
oder (a a · b) (a = b)
"Law IV". (a = b) [Formel 1] (a c · b) (b c · a),
oder kürzer (a b · a) = 1,
-- wozu zu bemerken ist, dass in den beiden letzten Gesetzen das
Subsumtionszeichen als ein auch umgekehrt gültiges in ein Gleichheits-
zeichen verwandelt werden dürfte.

i) Das erste Gesetz versichert, dass bei gleichzeitigem Bestehen
der beiden linearen Triaden a p · b und c p · d es immer ein Element q
geben wird derart, dass auch a d · q und b c · q als lineare Triaden be-
stehen.

Der Beweis dieses Gesetzes könnte geleistet werden, indem wir
unter der Voraussetzung, welche ausführlich geschrieben lautet:
(a p b1 + a1 p1 b = 0) (c p d1 + c1 p1 d = 0)
oder wegen Th. 24+)
(a b1 + c d1) p + (a1 b + c1 d) p1 = 0,
ein Element q angäben, welches auch die Behauptung
(a d q1 + a1 d1 q = 0) (b c q1 + b1 c1 q = 0)
oder
(a1 d1 + b1 c1) q + (a d + b c) q1 = 0
nachweislich erfüllt.

Ein solches gibt Herr Kempe an in der Gestalt:
q = (a d + b c) u + (a + d) (b + c) u1,
worin u ein arbiträres Element vorstellt, und macht die Probe mittelst Ein-
setzung des Wertes von q in die Thesis unter Berücksichtigung der Relation
zwischen a, b, c, d, welche aus der Hypothesis durch Elimination von p fließt.
Dieses Element q ist aber nichts anderes, als die regelrechte Auflösung der
behaupteten Gleichung nach eben dieser Unbekannten, und erfüllt diese
Gleichung also sicher, wofern letztere nur überhaupt auflösbar ist. Wir
können darum Kempe's Rechnung hier sparen und brauchen blos das
Bestehen dieser Auflösbarkeit, unserer "Valenzbedingung" für q, auf Grund
der Prämisse nachzusehen.

Am besten beschränkt man sich darauf, zu zeigen, wie die Prä-
missengleichung die Existenz einer Wurzel q der behaupteten Gleichung
garantirt, das heisst: zu zeigen, dass die Resultante der Elimination von
p aus jener nachsichzieht die Resultante der Elimination von q aus
dieser. Da aber in der That Gleichheit der beiden Resultanten-Polynome:
(a b1 + c d1) (a1 b + c1 d) = (a1 d1 + b1 c1) (a d + b c)

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

„Law III“. (a b · c) (a = b) (a = b = c),
oder (a a · b) (a = b)
„Law IV“. (a = b) [Formel 1] (a c · b) (b c · a),
oder kürzer (a b · a) = 1̇,
— wozu zu bemerken ist, dass in den beiden letzten Gesetzen das
Subsumtionszeichen als ein auch umgekehrt gültiges in ein Gleichheits-
zeichen verwandelt werden dürfte.

ι) Das erste Gesetz versichert, dass bei gleichzeitigem Bestehen
der beiden linearen Triaden a p · b und c p · d es immer ein Element q
geben wird derart, dass auch a d · q und b c · q als lineare Triaden be-
stehen.

Ein solches gibt Herr Kempe an in der Gestalt:
q = (a d + b c) u + (a + d) (b + c) u1,
worin u ein arbiträres Element vorstellt, und macht die Probe mittelst Ein-
setzung des Wertes von q in die Thesis unter Berücksichtigung der Relation
zwischen a, b, c, d, welche aus der Hypothesis durch Elimination von p fließt.
Dieses Element q ist aber nichts anderes, als die regelrechte Auflösung der
behaupteten Gleichung nach eben dieser Unbekannten, und erfüllt diese
Gleichung also sicher, wofern letztere nur überhaupt auflösbar ist. Wir
können darum Kempe’s Rechnung hier sparen und brauchen blos das
Bestehen dieser Auflösbarkeit, unserer „Valenzbedingung“ für q, auf Grund
der Prämisse nachzusehen.

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[569/0213] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. „Law III“. (a b · c) (a = b) (a = b = c), oder (a a · b) (a = b) „Law IV“. (a = b) [FORMEL] (a c · b) (b c · a), oder kürzer (a b · a) = 1̇, — wozu zu bemerken ist, dass in den beiden letzten Gesetzen das Subsumtionszeichen als ein auch umgekehrt gültiges in ein Gleichheits- zeichen verwandelt werden dürfte. ι) Das erste Gesetz versichert, dass bei gleichzeitigem Bestehen der beiden linearen Triaden a p · b und c p · d es immer ein Element q geben wird derart, dass auch a d · q und b c · q als lineare Triaden be- stehen. Der Beweis dieses Gesetzes könnte geleistet werden, indem wir unter der Voraussetzung, welche ausführlich geschrieben lautet: (a p b1 + a1 p1 b = 0) (c p d1 + c1 p1 d = 0) oder wegen Th. 24+) (a b1 + c d1) p + (a1 b + c1 d) p1 = 0, ein Element q angäben, welches auch die Behauptung (a d q1 + a1 d1 q = 0) (b c q1 + b1 c1 q = 0) oder (a1 d1 + b1 c1) q + (a d + b c) q1 = 0 nachweislich erfüllt. Ein solches gibt Herr Kempe an in der Gestalt: q = (a d + b c) u + (a + d) (b + c) u1, worin u ein arbiträres Element vorstellt, und macht die Probe mittelst Ein- setzung des Wertes von q in die Thesis unter Berücksichtigung der Relation zwischen a, b, c, d, welche aus der Hypothesis durch Elimination von p fließt. Dieses Element q ist aber nichts anderes, als die regelrechte Auflösung der behaupteten Gleichung nach eben dieser Unbekannten, und erfüllt diese Gleichung also sicher, wofern letztere nur überhaupt auflösbar ist. Wir können darum Kempe’s Rechnung hier sparen und brauchen blos das Bestehen dieser Auflösbarkeit, unserer „Valenzbedingung“ für q, auf Grund der Prämisse nachzusehen. Am besten beschränkt man sich darauf, zu zeigen, wie die Prä- missengleichung die Existenz einer Wurzel q der behaupteten Gleichung garantirt, das heisst: zu zeigen, dass die Resultante der Elimination von p aus jener nachsichzieht die Resultante der Elimination von q aus dieser. Da aber in der That Gleichheit der beiden Resultanten-Polynome: (a b1 + c d1) (a1 b + c1 d) = (a1 d1 + b1 c1) (a d + b c)

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 569. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/213>, abgerufen am 24.11.2024.

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