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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

Die Cyklen bestehen natürlich aus mindestens drei Elementepaaren,
sind drei- oder "mehrgliedrige"; ein "zweigliedriger" Cyklus wie 23, 32,
kann nämlich nicht vorkommen, weil jede Kombination nur ein mal durch
ein Elementepaar vertreten sein soll; und noch weniger kann ein "ein-
gliedriger" Cyklus, wie 11, vorkommen, weil Wiederholung von Elementen
in jeder Kombination ausgeschlossen.

Die Anzahl der möglichen Systeme (oder Kombinationen) von Elemente-
paaren ist, wie leicht zu sehen, [Formel 1] .

Den Beweis des Satzes beginnen wir mit dem empirischen Nachweise
seiner Gültigkeit für die niedersten Werte: 2, 3 und 4 von n.

Zwei Elementc: 1 und 2; also n = 2, n -- 1 = 1, [Formel 2] = 1, 21 = 2.

Kombinationen:

12*
21*

Hier kann die Voraussetzung des Satzes niemals zutreffen, weil in
allen, d. i. eben in dem einzigen Elementepaare des Systems sicher ein
Element "durchweg" voransteht. Und unser Satz muss hier als ein "nichts-
sagender" gelten.

Drei Elemente: 1, 2, 3; also n = 3, n -- 1 = 2, [Formel 3] = 3, 23 = 8.

Kombinationen:Cyklen:
12, 1323*
32*
12, 31231231
32*
21, 1323*
321321
21, 3123*
32*

Vor den ersten Vertikalstrich haben wir die das Element 1 enthaltenden
Elementepaare des jeweils in einer Zeile dargestellten Systems gesetzt und
sind dieselben in den leeren Plätzen aus den darüberstehenden Zeilen
wiederholt zu denken. Hinter jenem Strich stehen die das Element 1 nicht
enthaltenden Elementepaare. Sodann haben wir hinter einen zweiten
Vertikalstrich die ersichtlichen Cyklen gesetzt in den Fällen, wo die Voraus-
setzung unsres Satzes zutrifft, dagegen mit einem Stern die Fälle gekennzeichnet,
wo diese Voraussetzung nicht zutrifft, indem entweder das Element 1 oder
das 2 oder 3 durchweg voransteht in allen Elementepaaren des betreffenden
Systems oder der Zeile, die dasselbe enthalten.

Ähnlich verfahren wir auch bei den nachfolgenden Zusammenstellungen.

Vier Elemente: 1, 2, 3, 4; also n = 4, n -- 1 = 3, [Formel 4] = 6, 26 = 64.

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

Die Cyklen bestehen natürlich aus mindestens drei Elementepaaren,
sind drei- oder „mehrgliedrige“; ein „zweigliedriger“ Cyklus wie 23, 32,
kann nämlich nicht vorkommen, weil jede Kombination nur ein mal durch
ein Elementepaar vertreten sein soll; und noch weniger kann ein „ein-
gliedriger“ Cyklus, wie 11, vorkommen, weil Wiederholung von Elementen
in jeder Kombination ausgeschlossen.

Die Anzahl der möglichen Systeme (oder Kombinationen) von Elemente-
paaren ist, wie leicht zu sehen, [Formel 1] .

Den Beweis des Satzes beginnen wir mit dem empirischen Nachweise
seiner Gültigkeit für die niedersten Werte: 2, 3 und 4 von n.

Zwei Elementc: 1 und 2; also n = 2, n — 1 = 1, [Formel 2] = 1, 21 = 2.

Kombinationen:

12*
21*

Hier kann die Voraussetzung des Satzes niemals zutreffen, weil in
allen, d. i. eben in dem einzigen Elementepaare des Systems sicher ein
Element „durchweg“ voransteht. Und unser Satz muss hier als ein „nichts-
sagender“ gelten.

Drei Elemente: 1, 2, 3; also n = 3, n — 1 = 2, [Formel 3] = 3, 23 = 8.

Kombinationen:Cyklen:
12, 1323*
32*
12, 31231231
32*
21, 1323*
321321
21, 3123*
32*

Vor den ersten Vertikalstrich haben wir die das Element 1 enthaltenden
Elementepaare des jeweils in einer Zeile dargestellten Systems gesetzt und
sind dieselben in den leeren Plätzen aus den darüberstehenden Zeilen
wiederholt zu denken. Hinter jenem Strich stehen die das Element 1 nicht
enthaltenden Elementepaare. Sodann haben wir hinter einen zweiten
Vertikalstrich die ersichtlichen Cyklen gesetzt in den Fällen, wo die Voraus-
setzung unsres Satzes zutrifft, dagegen mit einem Stern die Fälle gekennzeichnet,
wo diese Voraussetzung nicht zutrifft, indem entweder das Element 1 oder
das 2 oder 3 durchweg voransteht in allen Elementepaaren des betreffenden
Systems oder der Zeile, die dasselbe enthalten.

Ähnlich verfahren wir auch bei den nachfolgenden Zusammenstellungen.

Vier Elemente: 1, 2, 3, 4; also n = 4, n — 1 = 3, [Formel 4] = 6, 26 = 64.

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[559/0203] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. Die Cyklen bestehen natürlich aus mindestens drei Elementepaaren, sind drei- oder „mehrgliedrige“; ein „zweigliedriger“ Cyklus wie 23, 32, kann nämlich nicht vorkommen, weil jede Kombination nur ein mal durch ein Elementepaar vertreten sein soll; und noch weniger kann ein „ein- gliedriger“ Cyklus, wie 11, vorkommen, weil Wiederholung von Elementen in jeder Kombination ausgeschlossen. Die Anzahl der möglichen Systeme (oder Kombinationen) von Elemente- paaren ist, wie leicht zu sehen, [FORMEL]. Den Beweis des Satzes beginnen wir mit dem empirischen Nachweise seiner Gültigkeit für die niedersten Werte: 2, 3 und 4 von n. Zwei Elementc: 1 und 2; also n = 2, n — 1 = 1, [FORMEL] = 1, 21 = 2. Kombinationen: 12 * 21 * Hier kann die Voraussetzung des Satzes niemals zutreffen, weil in allen, d. i. eben in dem einzigen Elementepaare des Systems sicher ein Element „durchweg“ voransteht. Und unser Satz muss hier als ein „nichts- sagender“ gelten. Drei Elemente: 1, 2, 3; also n = 3, n — 1 = 2, [FORMEL] = 3, 23 = 8. Kombinationen: Cyklen: 12, 13 23 * 32 * 12, 31 23 1231 32 * 21, 13 23 * 32 1321 21, 31 23 * 32 * Vor den ersten Vertikalstrich haben wir die das Element 1 enthaltenden Elementepaare des jeweils in einer Zeile dargestellten Systems gesetzt und sind dieselben in den leeren Plätzen aus den darüberstehenden Zeilen wiederholt zu denken. Hinter jenem Strich stehen die das Element 1 nicht enthaltenden Elementepaare. Sodann haben wir hinter einen zweiten Vertikalstrich die ersichtlichen Cyklen gesetzt in den Fällen, wo die Voraus- setzung unsres Satzes zutrifft, dagegen mit einem Stern die Fälle gekennzeichnet, wo diese Voraussetzung nicht zutrifft, indem entweder das Element 1 oder das 2 oder 3 durchweg voransteht in allen Elementepaaren des betreffenden Systems oder der Zeile, die dasselbe enthalten. Ähnlich verfahren wir auch bei den nachfolgenden Zusammenstellungen. Vier Elemente: 1, 2, 3, 4; also n = 4, n — 1 = 3, [FORMEL] = 6, 26 = 64.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 559. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/203>, abgerufen am 26.11.2024.