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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 7.
welche einen vom Exponenten des a verschiedenen Index haben, im Produkte
eingehen, speziell also, dass:
a1 x1 x3 x5 ... = a1 x1,
a3 x1 x3 x5 ... = a3 x3,
. . . . . . . .
ist. Um das erstere einzusehen (was für den Rest typisch ist), schreibe
man sich das Produkt ausführlicher hin:
p (x -- x1) p (x -- x3) p (x -- x5) ... p (x1 -- x3) p (x1 -- x5) ...

In Anbetracht aber, dass die Subsumtion o1) nach Th. 20x) auch ge-
schrieben werden kann:
p1) p (a -- b) p (b -- c) p (a -- c) = p (a -- b) p (b -- c),
haben wir ein Schema vor uns, gemäss welchem nun oben der Faktor
p (x -- x3) von dem Produkte p (x -- x1) p (x1 -- x3),
der p (x -- x5) " " " p (x -- x1) p (x1 -- x5),
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
augenscheinlich absorbirt (nämlich ohnehin mitbedingt) wird, (weshalb
seine Statuirung überflüssig). Sonach vereinfacht unser Glied sich in der
That zu:
p (x -- x1) p (x1 -- x3) p (x1 -- x5) ..., = x1 a1,
wie zu zeigen gewesen, und die Formel g1) ist gerechtfertigt.

Der kombinatorische (Hülfs-)Satz, auf welchen mich der Versuch
geführt hat, den Beweis von McColl's Regeln zu vervollständigen, und
von welchem vorstehend in der That Gebrauch gemacht werden musste,
ist vielleicht -- gleichwie der Beweis für denselben -- auch an sich von
Interesse. Derselbe ist wie folgt zu formuliren.

Betrachtet man die [Formel 1] Kombinationen ohne Wiederholungen zur
zweiten Klasse von n Elementen 1, 2, 3, ... n -- 1, n, dieselben jedoch
"ungeordnet" (d. h. mit irgendwie geordneten Elementen) genommen,
m. a. W. nur als "Elementepaare" aufgefasst, somit jede einzelne Kom-
bination beliebig entweder als "Rechtfolge" oder aber als "Kehrfolge" an-
gesetzt, so gilt der Satz: Wenn kein Element in allen n -- 1 Elemente-
paaren, in denen es vorkommt, voransteht, so lassen sich immer gewisse von
den Elementepaaren zu einem "Ringe" oder "Cyklus" ordnen -- wie

23, 34, 42,abgekürzt: 2342,
12, 23, 34, 41,12341,
. . . . . ....
-- dergestalt dass der Konsequent (oder das zweite Element) jedes Paares
mit dem Antezedenten (oder ersten Element) des ihm folgenden Paares
zusammenfällt, der letzte Konsequent aber mit dem ersten Antezedenten --
und zwar eventuell auf mehrere Arten.

Anhang 7.
welche einen vom Exponenten des α verschiedenen Index haben, im Produkte
eingehen, speziell also, dass:
α1 x1 x3 x5 … = α1 x1,
α3 x1 x3 x5 … = α3 x3,
. . . . . . . .
ist. Um das erstere einzusehen (was für den Rest typisch ist), schreibe
man sich das Produkt ausführlicher hin:
p (x — x1) p (x — x3) p (x — x5) … p (x1 — x3) p (x1 — x5) …

In Anbetracht aber, dass die Subsumtion ο1) nach Th. 2̅0̅×) auch ge-
schrieben werden kann:
π1) p (a — b) p (b — c) p (a — c) = p (a — b) p (b — c),
haben wir ein Schema vor uns, gemäss welchem nun oben der Faktor
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. . . . . . . . . . . . . . . . . .
augenscheinlich absorbirt (nämlich ohnehin mitbedingt) wird, (weshalb
seine Statuirung überflüssig). Sonach vereinfacht unser Glied sich in der
That zu:
p (x — x1) p (x1 — x3) p (x1 — x5) …, = x1 α1,
wie zu zeigen gewesen, und die Formel γ1) ist gerechtfertigt.

Der kombinatorische (Hülfs-)Satz, auf welchen mich der Versuch
geführt hat, den Beweis von McColl’s Regeln zu vervollständigen, und
von welchem vorstehend in der That Gebrauch gemacht werden musste,
ist vielleicht — gleichwie der Beweis für denselben — auch an sich von
Interesse. Derselbe ist wie folgt zu formuliren.

Betrachtet man die [Formel 1] Kombinationen ohne Wiederholungen zur
zweiten Klasse von n Elementen 1, 2, 3, … n — 1, n, dieselben jedoch
„ungeordnet“ (d. h. mit irgendwie geordneten Elementen) genommen,
m. a. W. nur als „Elementepaare“ aufgefasst, somit jede einzelne Kom-
bination beliebig entweder als „Rechtfolge“ oder aber als „Kehrfolge“ an-
gesetzt, so gilt der Satz: Wenn kein Element in allen n — 1 Elemente-
paaren, in denen es vorkommt, voransteht, so lassen sich immer gewisse von
den Elementepaaren zu einem „Ringe“ oder „Cyklus“ ordnen — wie

23, 34, 42,abgekürzt: 2342,
12, 23, 34, 41,12341,
. . . . . .…
— dergestalt dass der Konsequent (oder das zweite Element) jedes Paares
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und zwar eventuell auf mehrere Arten.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 558. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/202>, abgerufen am 22.11.2024.