Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Anhang 7.

Ebendarum ist auch
1̇ = p (x_ϰ — x_λ) + p (x_λ — x_ϰ);
denkt man sich nun diese Gleichung angesetzt für alle erdenklichen Paare
von unter sich verschiedenen x-Grössen x₁, x₃, x₅, … und überschiebend
mit einander multiplizirt:
μ₁) 1̇ = {p (x₁ — x₃) + p (x₃ — x₁)} {p (x₁ — x₅) + p (x₅ — x₁)}.
· {p (x₃ — x₅) + p (x₅ — x₃)} …
so muss daraus die Gleichung ζ₁) 1̇ = α¹ + α³ + α⁵ + … entstehen, (aus
welcher dann γ₁) leicht abzuleiten sein wird,) — wofern man nur in μ₁)
rechterhand ausmultiplizirt, die kraft ψ) etc. verschwindenden Terme des
ausmultiplizirten Produktes fortlässt, und bei den stehen bleibenden die
„überflüssigen“ Faktoren („redundant“ factors) unterdrückt, die kraft des
Absorptionsgesetzes in den übrigen eingehen.

Um dies einzusehen, hätte man, wenn n die Anzahl der unteren
Grenzen oder Symbole der x-Reihe ist, von den [Formel 1] Faktoren in
μ₁) [Formel 2] Partialprodukte im Geiste durchzugehen. Dieser Gedanke,
dessen Ausführung sich freilich meist umständlich gestalten dürfte, lässt
sich immerhin allgemein in folgender Weise verwirklichen.

Irgend ein Glied von ζ₁), z. B. α¹, wird in μ₁) aus denjenigen n — 1
von den [Formel 3] binomischen Faktoren entstehen, in welchen das Zahlen-
symbol x₁ vorkommt; und zwar wird, wenn wir uns diese n — 1 Faktoren
zunächst für sich ausmultiplizirt denken, α¹, als eines der 2^{n — 1} Partial-
produkte, herrühren von den Binomgliedern der Form p (x₁ — x_λ), in
welchen x₁ hinter p als Minuend steht. Im Gesamtprodukt von μ₁) findet
sich dann jedes dieser 2^{n — 1} Partialprodukte, darunter also auch α¹, noch
multiplizirt mit allen übrigen [Formel 4] binomischen Faktoren von μ₁),
in welchen x₁ nicht vorkommt, — deren jeder aber = 1̇ ist. Also
tritt α¹ auch im Gesamtprodukt μ₁) als einzelner Term mit dem Koeffi-
zienten 1̇ auf.

Ebenso wie α¹ lassen sich hierauf auch α³, sodann α⁵, u. s. w. in μ₁)
als besondere Glieder aussondern, unter Mitbenützung freilich von Faktoren
und Gliedern, die auch schon zur Bildung früherer α-Produkte Verwendung
fanden. Ungeachtet dieses letztern Umstandes dürfen wir — wegen des
Tautologiegesetzes 1̅4̅) — nunmehr das expandirte Produkt μ₁) in der
Gestalt
α¹ + α³ + α⁵ + … + R
uns vorstellen, wenn hier unter dem Zeichen R die restirenden, noch zu
den α hinzutretenden Glieder zusammengefasst sind. ζ₁) ist bewiesen, wenn
noch gezeigt ist, dass R = 0 wird.