Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

erfüllt, bald auch nicht erfüllt sein kann, so nötigt das Auftreten des
Koeffizienten ψ zur Unterscheidung von zweierlei Fällen: dem einen
Falle ψ = 1̇, in welchem jenes Teilintegral in der = J zu setzenden
Summe anzusetzen, und dem andern ψ = 0, in welchem es fortzu-
lassen ist.

Für jeden Fall wird hienach das Endergebniss leicht und zweifels-
ohne hinzuschreiben sein, sobald nur die Bedingungen ψ einander gegen-
seitig ausschliessen. Dies thun sie aber sicher bei all’ den Gliedern,
die von der „Entwickelung“ eines einzigen Terms ω x_{ϰ', … ϱ, …} von A
herrühren. Denn da die Summen α^ϰ' + α^λ' + … und α^ϱ + α^σ + …
„reduzirte“ sind, nämlich aus „disjunkten“ oder miteinander „inkonsistenten“
Gliederaussagen nach ε₁) und ι₁) sich zusammensetzen, so muss nach
einem Hülfssatze McColl’s (Zusatz 3, Bd. 1, S. 295) auch deren expandirtes
Produkt eine reduzirte Summe sein, es müssen auch die Produkte α^ϰ' α^ϱ
und damit die Koeffizienten χ des „nach x entwickelten“ Terms von A
durchweg unter sich inkonsistent sein, und dasselbe gilt dann ebenso weiter
von den Koeffizienten der Entwickelung ebendieses χ nach y, und so
fort bis herab zu den Koeffizienten ψ auch der letzten Entwickelung
nach der zur ersten gemachten Integrationsvariablen.

Desgleichen muss gegenseitiges Ausschliessen zwischen den Koeffi-
zienten der Endaussage A vorliegen bei dem uns hier beschäftigenden
Problem der Integrationsfolge-Umkehrung, wofern man nur bei dem
Aufbrechen der vorkommenden Ungleichungen richtig dichotomisch
zuwerke gegangen, nämlich Sorge getragen, schon hier stets mit ein-
ander ausschliessenden Bedingungen zu operiren — solche nötigenfalls
nach Th. 3̅3̅₊) Zusatz oder den Methoden des § 19 „entwickelnd“. Ob-
zwar nämlich mehrere Terme von der vorhin betrachteten Form in A
dann vorhanden sein mögen, so werden diese doch in ihren Koeffizienten,
je zu zweien verglichen, durch solche Faktoren sich unterscheiden, die
als Negationen von einander zum Produkte 0 geben, und diese werden
sich auf alle Unterterme mit übertragen, in welche man sie noch weiter-
hin zerlegen mag — sodass zwei Unterterme disjunkte Koeffizienten
haben, auch wenn sie aus verschiedenen Termen des A herrühren.
Mithin bleiben alle Koeffizienten dann stetsfort disjunkt.

Hiermit dürfte das praktisch Wichtige erledigt sein.

Theoretisch könnte freilich auch ein Fall vorliegen, wo die das
Integrationsbereich bestimmende Ur-Aussage ganz ad libitum gegeben ist,
und wo die Endkoeffizienten ψ nicht mehr disjunkt ausfallen. Man
„entwickele“ sie dann nach den vorkommenden Parameterungleichungen
in disjunkte Glieder und ziehe die gleichnamigen unter diesen aus der ganzen
Aussage A zusammen, die als Kofaktor auftretende Konstituentensumme