Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

Integral mit variabelen Grenzen geknüpft werden, (da von ihnen die
an das n-fache anzuknüpfenden sich nur quantitativ unterscheiden):
J = [Formel 1] d w [Formel 2] d x [Formel 3] d y [Formel 4] d z · f (w, x, y, z),
wobei von vornherein a < b gedacht werde.^*)

Die oft gar nicht unbeträchtliche Vorarbeit, deren Erforderlich-
keit McColl übersehen, besteht darin, zunächst die Ungleichung
φ (w) > ψ (w) innerhalb des Intervalles w = a bis w = b aufzulösen,
d. h. diejenigen Teile gedachten Intervalles ausfindig zu machen, für
welche die Voraussetzung φ (w) < ψ (w) nicht erfüllt ist, und darnach
das gegebene Integral nach d w zu zerlegen, die den gesuchten Inter-
vallteilen entsprechenden Teilintegrale, unter Vertauschung der untern
mit der oberen Grenze von x, negativ ansetzend. Gibt es solche nicht,
so ist innerhalb des x-Intervalles x = φ (w) bis x = ψ (w) von J
selbst, gab es solche aber, so ist innerhalb des x-Intervalles bei jedem
der Teilintegrale die Ungleichung φ (w, x) > ψ (w, x) ebenso nach x
aufzulösen und entsprechend zu zerlegen, zuletzt die Ungleichung
φ (w, x, y) > ψ (w, x, y) nach y bei jedem der neuen Teilintegrale inner-
halb des zugehörigen y-Intervalles aufzulösen, etc.

Das hiebei zu beobachtende Verfahren würde eine eingehendere
Theorie wol verdienen, auf welche wir jedoch an dieser Stelle nicht
eintreten wollen.

Das gegebene Integral J zerfällt hierdurch in ein Aggregat von
lauter ebensovielfachen („Teil“-) Integralen je mit derselben Reihenfolge
der Integrationsvariabeln und genommen von der nämlichen Funktion f,
in deren jedem aber die unteren Grenzen durchweg kleiner (nie grösser)
sind als die entsprechenden oberen, und jedes dieser Teilintegrale geht in
das Aggregat mit ganz bestimmtem Vorzeichen ein. Das Aggregat ist
eingliedrig, fällt mit J selbst zusammen, wenn die hervorgehobene
Voraussetzung sich als von vornherein schon bei J erfüllt erweist.

Auf jedes der Teilintegrale ist alsdann die Methode anzuwenden,
die wir nunmehr in Bezug auf J selbst auseinandersetzen wollen, in-
dem wir bei diesem Integrale jetzt die gedachte Voraussetzung eintreten
lassen, dass die obern Grenzen durchweg die untern übertreffen.

*) Dass die Bedeutung eines und desselben Funktionsbuchstabens, wenn für
ein, zwei, drei, … Argumente in Anspruch genommen, jedesmal eine vollkommen
unabhängige ist, eine für φ (w) gegebene Erklärung z. B. in keiner Weise der
Definition von φ (w, x) präjudizirt, bedarf für den Mathematiker kaum der
Erinnerung.