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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
worin ein jeder Koeffizient a1, a3, a5, ... die Bedingung darstellt, dass
die Zahl x1, resp. x3, x5, ... die jeweilige grösste von den sämtlichen
unteren Grenzen für x ist, mithin, ausführlich dargestellt, bedeuten wird:
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. . . . . . . . . . . . . . . .
Hiezu ist noch anzumerken, dass sämtliche Koeffizienten a der Ent-
wicklung unter sich disjunkt sind, ihre Summe aber gleich der iden-
tischen 1 des Aussagenkalkuls sein wird, in Zeichen, dass
e1) a1 a3 = 0, a1 a5 = 0, a3 a5 = 0, ...
z1) 1 = a1 + a3 + a5 + ...

Dies alles ist ganz unmittelbar einleuchtend und läuft darauf hin-
aus, dass in jeder Phase der Änderung der Zahlen x1, x3, x5, ... doch
irgend eine derselben die grösste sein muss, (sintemal die Fälle des
Gleichwerdens -- von mehreren derselben als grössten Zahlen -- aus-
zulassen), wobei es dann keine von den übrigen sein wird und, damit
x sie alle übertreffe, es genügen wird und auch erforderlich ist, dass
es nur diese eben grösste unter ihnen übertreffe.

Ungeachtet dieser Evidenz wollen wir am Schlusse dieses Anhanges
(Seite 555 ff.) zeigen, wie der Satz sich auf Grund der bisherigen Sätze
beweisen lässt, -- was Herr McColl unterlassen.

Gleichwie Regel 1 sich auf den Fall konkurrirender unterer Grenzen,
so bezieht die zweite Regel sich auf den von konkurrirenden oberen
Grenzen.

Regel 2. Die Aussage x2', 4', 6', ... lässt sich linear und homogen
entwickeln nach den Aussagen x2', x4', x6', ... in der Gestalt:
e1) x2', 4', 6', ... = x2' · a2' + x4' · a4' + x6' · a6' + ...
worin irgend ein Koeffizient a2', a4', a6', ... die Bedingung ausspricht,
dass die Zahl x2, bezüglich x4, x6, ... die jeweilige kleinste von diesen
sämtlichen oberen Grenzen für x ist, somit ausführlich dargestellt
bedeuten wird:
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. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 34

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
worin ein jeder Koeffizient α1, α3, α5, … die Bedingung darstellt, dass
die Zahl x1, resp. x3, x5, … die jeweilige grösste von den sämtlichen
unteren Grenzen für x ist, mithin, ausführlich dargestellt, bedeuten wird:
δ1) α1 = p (x1 — x3) p (x1 — x5) p (x1 — x7) …
α3 = p (x3 — x1) p (x3 — x5) p (x3 — x7) …
α5 = p (x5 — x1) p (x5 — x3) p (x5 — x7) …
. . . . . . . . . . . . . . . .
Hiezu ist noch anzumerken, dass sämtliche Koeffizienten α der Ent-
wicklung unter sich disjunkt sind, ihre Summe aber gleich der iden-
tischen 1̇ des Aussagenkalkuls sein wird, in Zeichen, dass
ε1) α1 α3 = 0, α1 α5 = 0, α3 α5 = 0, …
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Dies alles ist ganz unmittelbar einleuchtend und läuft darauf hin-
aus, dass in jeder Phase der Änderung der Zahlen x1, x3, x5, … doch
irgend eine derselben die grösste sein muss, (sintemal die Fälle des
Gleichwerdens — von mehreren derselben als grössten Zahlen — aus-
zulassen), wobei es dann keine von den übrigen sein wird und, damit
x sie alle übertreffe, es genügen wird und auch erforderlich ist, dass
es nur diese eben grösste unter ihnen übertreffe.

Ungeachtet dieser Evidenz wollen wir am Schlusse dieses Anhanges
(Seite 555 ff.) zeigen, wie der Satz sich auf Grund der bisherigen Sätze
beweisen lässt, — was Herr McColl unterlassen.

Gleichwie Regel 1 sich auf den Fall konkurrirender unterer Grenzen,
so bezieht die zweite Regel sich auf den von konkurrirenden oberen
Grenzen.

Regel 2. Die Aussage x2', 4', 6', … lässt sich linear und homogen
entwickeln nach den Aussagen x2', x4', x6', … in der Gestalt:
η1) x2', 4', 6', … = x2' · α2' + x4' · α4' + x6' · α6' + …
worin irgend ein Koeffizient α2', α4', α6', … die Bedingung ausspricht,
dass die Zahl x2, bezüglich x4, x6, … die jeweilige kleinste von diesen
sämtlichen oberen Grenzen für x ist, somit ausführlich dargestellt
bedeuten wird:
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Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 34
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[529/0173] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. worin ein jeder Koeffizient α1, α3, α5, … die Bedingung darstellt, dass die Zahl x1, resp. x3, x5, … die jeweilige grösste von den sämtlichen unteren Grenzen für x ist, mithin, ausführlich dargestellt, bedeuten wird: δ1) α1 = p (x1 — x3) p (x1 — x5) p (x1 — x7) … α3 = p (x3 — x1) p (x3 — x5) p (x3 — x7) … α5 = p (x5 — x1) p (x5 — x3) p (x5 — x7) … . . . . . . . . . . . . . . . . Hiezu ist noch anzumerken, dass sämtliche Koeffizienten α der Ent- wicklung unter sich disjunkt sind, ihre Summe aber gleich der iden- tischen 1̇ des Aussagenkalkuls sein wird, in Zeichen, dass ε1) α1 α3 = 0, α1 α5 = 0, α3 α5 = 0, … ζ1) 1̇ = α1 + α3 + α5 + … Dies alles ist ganz unmittelbar einleuchtend und läuft darauf hin- aus, dass in jeder Phase der Änderung der Zahlen x1, x3, x5, … doch irgend eine derselben die grösste sein muss, (sintemal die Fälle des Gleichwerdens — von mehreren derselben als grössten Zahlen — aus- zulassen), wobei es dann keine von den übrigen sein wird und, damit x sie alle übertreffe, es genügen wird und auch erforderlich ist, dass es nur diese eben grösste unter ihnen übertreffe. Ungeachtet dieser Evidenz wollen wir am Schlusse dieses Anhanges (Seite 555 ff.) zeigen, wie der Satz sich auf Grund der bisherigen Sätze beweisen lässt, — was Herr McColl unterlassen. Gleichwie Regel 1 sich auf den Fall konkurrirender unterer Grenzen, so bezieht die zweite Regel sich auf den von konkurrirenden oberen Grenzen. Regel 2. Die Aussage x2', 4', 6', … lässt sich linear und homogen entwickeln nach den Aussagen x2', x4', x6', … in der Gestalt: η1) x2', 4', 6', … = x2' · α2' + x4' · α4' + x6' · α6' + … worin irgend ein Koeffizient α2', α4', α6', … die Bedingung ausspricht, dass die Zahl x2, bezüglich x4, x6, … die jeweilige kleinste von diesen sämtlichen oberen Grenzen für x ist, somit ausführlich dargestellt bedeuten wird: ϑ1) α2' = p' (x2 — x4) p' (x2 — x6) p' (x2 — x8) … α4' = p' (x4 — x2) p' (x4 — x6) p' (x4 — x8) … α6' = p' (x6 — x2) p' (x6 — x4) p' (x6 — x8) … . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 34

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 529. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/173>, abgerufen am 24.11.2024.