Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Anhang 7.

deutet jedoch die Forderung repräsentiren wird, dass ebendiese Zahl
untere Grenze für x sein solle. Im weitern Verlauf unsrer Unter-
suchung wird es sich jedoch als leicht herausstellen, aussagenrechnerische
Operationen von den zahlenrechnerischen immer gebührend auseinander-
zuhalten.

Wegen des Kommutationsgesetzes 1̅2̅_×) der Aussagenmultiplikation
steht natürlich die Reihenfolge der Indices rechts in β₁) ganz in unserm
Belieben, und dürften wir ebensogut z. B. x_{ϰ, λ', μ, ν', ξ, …} für die rechte
Seite dieser Äquivalenz schreiben.

Zur Einübung vorstehender Symbolik sei hier noch ein Schema
aufgestellt, das bei den Anwendungsaufgaben wiederholt zu verwerten
sein wird:

Es bedeute a eine positive Zahl, und werde
α'₁) — a = x₁, a = x₂
genannt. Alsdann ist — nach der Zeichenregel χ):
(a² < x²) = p (x² — a²) = p {(x — a) (x + a)} =
= p (x — a) p (x + a) + p' (x — a) p' (x + a) =
= (a < x) (— a < x) + (x < a) (x < — a) =
= (a < x) + (x < — a),
da zufolge der Voraussetzung — a < 0 < a der Faktor (— a < x) neben
dem andern (a < x) als dessen Folgerung nach Th. 2̅0̅_×) absorbirt wird,
ebenso (x < a) neben (x < — a); und ferner:
(x² < a²) = p' (x² — a²) = p (x — a) p' (x + a) + p' (x — a) p (x + a) =
= (a < x < — a) + (— a < x < a) = (— a < x < a)
indem hier der erste Term (a < x < — a) = 0 ist, als den Widersinn
a < — a involvirend.

Wir haben demnach die Ergebnisse:

β'_1)

p (x2 — a2) = x_1' + x_2 p (a2 — x2) = p' (x2 — a2) = x_2', 1,

welche auch auf einander zurückzuführen sind durch „Negiren“ unter der
hier eingeführten Beschränkung ξ), z. B.
p' (x² — a²) = (x_1' + x₂)' = x₁ x_2' = x_1,2'.

McColls Methode beruht nun ganz auf drei Regeln, von denen
die zweite übrigens nur für die oberen Grenzen wiederholt, was die
erste für die unteren statuirte.

Regel 1. Die Aussage x_{1, 3, 5, …} lässt sich linear und homogen ent-
wickeln nach den Aussagen x₁, x₃, x₅, … in der Gestalt:
γ₁) x_{1, 3, 5, …} = x₁ · α¹ + x₃ · α³ + x₅ · α⁵ + …,