Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
Die Substitution dieser Werte in die Doppelgleichungen d2) ergibt die
folgenden:
a + e = a e1 + b e
(b d + b1 d1) e + g e1 = g e1 + d e
(b d1 + b1 d) e + g e1 = g e1 + d1 e
a e1 = a e1 + b1 e,
welche insgesamt auf die eine
d4) b1 e = 0, e b
hinauskommen. Letztere liefert als ihre vereinigte Gleichung
e = z e, b = z + e
und hiernach
p = a + z ep1 = a1 (z1 + e1)q = g (z1 + e1) + d z eq1 = g1 (z1 + e1) + d1 z e
s = a (z1 + e1)s1 = a1 + z er = g (z1 + e1) + d1 z er1 = g1 (z1 + e1) + d z e,
oder wenn nach [Formel 1] jeder der drei Buchstaben der oberen Zeile
durch den darunter stehenden ersetzt wird,
d5
p = a b + eq = (a1 + b1) g + a b dr = (a1 + b1) g + a b d1s = (a1 + b1) e
p1 = (a1 + b1) e1q1 = (a1 + b1) g1 + a b d1r1 = (a1 + b1) g1 + a b ds1 = a b + e1.

Mithin stellt
x y = (a b + e) x y + {(a1 + b1) g + a b d} x y1 +
+ {(a1 + b1) g + a b d1} x1 y + (a1 + b1) e x1 y1
die gesuchte, dem Gesetz d1) unterworfene Knüpfung vor. Dieselbe ist,
wie man sieht, nicht kommutativ, wol aber assoziativ, da die Charakte-
ristik b2) der assoziativen Operationen sich hier als erfüllt erweist.

Um noch die Charakteristik derselben aufzustellen, hat man der-
jenigen d3) der Unabhängigkeit des (a b) (b c) von b nur noch die
Forderung
p1 s = 0
hinzuzufügen (cf. d4); -- oder da p1 s (q r + q1 r1) = 0 bereits in der Un-
abhängigkeitscharakteristik d3) enthalten war, so wird letztere von der
gesuchten blos um den Term p1 s (q r1 + q1 r) übertroffen, welcher = 0
gesetzt den Exzess dieser Charakteristik über jene darstellt. Die ge-
suchte lautet also:
d6) p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) + p s1 (q r + q1 r1) = 0,
wo der letzte Term links den Exzess der vorliegenden über die
Charakteristik b2) der assoziativen Knüpfungen repräsentirt. In Sub-
sumtionenform erhält man aus d6)
(p q r s p q + r + s) (r s q p + r) (q s r p + q).

§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
Die Substitution dieser Werte in die Doppelgleichungen δ2) ergibt die
folgenden:
α + ε = α ε1 + β ε
(β δ + β1 δ1) ε + γ ε1 = γ ε1 + δ ε
(β δ1 + β1 δ) ε + γ ε1 = γ ε1 + δ1 ε
α ε1 = α ε1 + β1 ε,
welche insgesamt auf die eine
δ4) β1 ε = 0, ε β
hinauskommen. Letztere liefert als ihre vereinigte Gleichung
ε = ζ η, β = ζ + η
und hiernach
p = α + ζ ηp1 = α1 (ζ1 + η1)q = γ (ζ1 + η1) + δ ζ ηq1 = γ1 (ζ1 + η1) + δ1 ζ η
s = α (ζ1 + η1)s1 = α1 + ζ ηr = γ (ζ1 + η1) + δ1 ζ ηr1 = γ1 (ζ1 + η1) + δ ζ η,
oder wenn nach [Formel 1] jeder der drei Buchstaben der oberen Zeile
durch den darunter stehenden ersetzt wird,
δ5
p = α β + εq = (a1 + β1) γ + α β δr = (α1 + β1) γ + α β δ1s = (α1 + β1) ε
p1 = (α1 + β1) ε1q1 = (α1 + β1) γ1 + α β δ1r1 = (α1 + β1) γ1 + α β δs1 = α β + ε1.

Mithin stellt
x ∘ y = (α β + ε) x y + {(α1 + β1) γ + α β δ} x y1 +
+ {(α1 + β1) γ + α β δ1} x1 y + (α1 + β1) ε x1 y1
die gesuchte, dem Gesetz δ1) unterworfene Knüpfung vor. Dieselbe ist,
wie man sieht, nicht kommutativ, wol aber assoziativ, da die Charakte-
ristik β2) der assoziativen Operationen sich hier als erfüllt erweist.

Um noch die Charakteristik derselben aufzustellen, hat man der-
jenigen δ3) der Unabhängigkeit des (a ∘ b) ∘ (b ∘ c) von b nur noch die
Forderung
p1 s = 0
hinzuzufügen (cf. δ4); — oder da p1 s (q r + q1 r1) = 0 bereits in der Un-
abhängigkeitscharakteristik δ3) enthalten war, so wird letztere von der
gesuchten blos um den Term p1 s (q r1 + q1 r) übertroffen, welcher = 0
gesetzt den Exzess dieser Charakteristik über jene darstellt. Die ge-
suchte lautet also:
δ6) p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) + p s1 (q r + q1 r1) = 0,
wo der letzte Term links den Exzess der vorliegenden über die
Charakteristik β2) der assoziativen Knüpfungen repräsentirt. In Sub-
sumtionenform erhält man aus δ6)
(p q r s p q + r + s) (r s q p + r) (q s r p + q).

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0149" n="505"/><fw place="top" type="header">§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.</fw><lb/>
Die Substitution dieser Werte in die Doppelgleichungen <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">2</hi>) ergibt die<lb/>
folgenden:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2; &#x03B5;</hi><lb/>
(<hi rendition="#i">&#x03B2; &#x03B4;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3; &#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3; &#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4; &#x03B5;</hi><lb/>
(<hi rendition="#i">&#x03B2; &#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi>) <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3; &#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3; &#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B5;<lb/>
&#x03B1; &#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi>,</hi><lb/>
welche insgesamt auf die eine<lb/><hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">4</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">&#x03B5;</hi> = 0, <hi rendition="#i">&#x03B5; <g ref="subeq"/> &#x03B2;</hi></hi><lb/>
hinauskommen. Letztere liefert als ihre vereinigte Gleichung<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">&#x03B5;</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B6; &#x03B7;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B6;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B7;</hi></hi><lb/>
und hiernach<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">p</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B6; &#x03B7;</hi></cell><cell><hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B6;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B7;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)</cell><cell><hi rendition="#i">q</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B6;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B7;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">&#x03B4; &#x03B6; &#x03B7;</hi></cell><cell><hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B6;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B7;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B6; &#x03B7;</hi></cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">s</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B6;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B7;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)</cell><cell><hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B6; &#x03B7;</hi></cell><cell><hi rendition="#i">r</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B6;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B7;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B6; &#x03B7;</hi></cell><cell><hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B6;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B7;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">&#x03B4; &#x03B6; &#x03B7;</hi>,</cell></row><lb/></table>     oder wenn nach <formula/> jeder der drei Buchstaben der oberen Zeile<lb/>
durch den darunter stehenden ersetzt wird,<lb/><list rend="braced"><head><hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">5</hi></head><item><table><row><cell><hi rendition="#i">p</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B2;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi></cell><cell><hi rendition="#i">q</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B2; &#x03B4;</hi></cell><cell><hi rendition="#i">r</hi> = (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B2; &#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi></cell><cell><hi rendition="#i">s</hi> = (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi></cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi></cell><cell><hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B2; &#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi></cell><cell><hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B2; &#x03B4;</hi></cell><cell><hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B2;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</cell></row><lb/></table></item></list></p>
            <p>Mithin stellt<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi> &#x2218; <hi rendition="#i">y</hi> = (<hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B2;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi>) <hi rendition="#i">x y</hi> + {(<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B2; &#x03B4;</hi>} <hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> +<lb/>
+ {(<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B2; &#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>} <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi> + (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03B5; x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/>
die gesuchte, dem Gesetz <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) unterworfene Knüpfung vor. Dieselbe ist,<lb/>
wie man sieht, <hi rendition="#i">nicht kommutativ</hi>, wol aber <hi rendition="#i">assoziativ</hi>, da die Charakte-<lb/>
ristik <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">2</hi>) der assoziativen Operationen sich hier als erfüllt erweist.</p><lb/>
            <p>Um noch die Charakteristik derselben aufzustellen, hat man der-<lb/>
jenigen <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) der Unabhängigkeit des (<hi rendition="#i">a</hi> &#x2218; <hi rendition="#i">b</hi>) &#x2218; (<hi rendition="#i">b</hi> &#x2218; <hi rendition="#i">c</hi>) von <hi rendition="#i">b</hi> nur noch die<lb/>
Forderung<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">s</hi> = 0</hi><lb/>
hinzuzufügen (cf. <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">4</hi>); &#x2014; oder da <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> (<hi rendition="#i">q r</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = 0 bereits in der Un-<lb/>
abhängigkeitscharakteristik <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) enthalten war, so wird letztere von der<lb/>
gesuchten blos um den Term <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> (<hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi>) übertroffen, welcher = 0<lb/>
gesetzt den Exzess dieser Charakteristik über jene darstellt. Die ge-<lb/>
suchte lautet also:<lb/><hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">6</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">s</hi> + (<hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">s</hi>) (<hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi>) + <hi rendition="#i">p s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">q r</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = 0,</hi><lb/>
wo der letzte Term links den Exzess der vorliegenden über die<lb/>
Charakteristik <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">2</hi>) der assoziativen Knüpfungen repräsentirt. In Sub-<lb/>
sumtionenform erhält man aus <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">6</hi>)<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">p q r <g ref="subeq"/> s <g ref="subeq"/> p <g ref="subeq"/> q</hi> + <hi rendition="#i">r</hi> + <hi rendition="#i">s</hi>) (<hi rendition="#i">r s <g ref="subeq"/> q <g ref="subeq"/> p</hi> + <hi rendition="#i">r</hi>) (<hi rendition="#i">q s <g ref="subeq"/> r <g ref="subeq"/> p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi>).</hi></p>
          </div><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[505/0149] § 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften. Die Substitution dieser Werte in die Doppelgleichungen δ2) ergibt die folgenden: α + ε = α ε1 + β ε (β δ + β1 δ1) ε + γ ε1 = γ ε1 + δ ε (β δ1 + β1 δ) ε + γ ε1 = γ ε1 + δ1 ε α ε1 = α ε1 + β1 ε, welche insgesamt auf die eine δ4) β1 ε = 0, ε β hinauskommen. Letztere liefert als ihre vereinigte Gleichung ε = ζ η, β = ζ + η und hiernach p = α + ζ η p1 = α1 (ζ1 + η1) q = γ (ζ1 + η1) + δ ζ η q1 = γ1 (ζ1 + η1) + δ1 ζ η s = α (ζ1 + η1) s1 = α1 + ζ η r = γ (ζ1 + η1) + δ1 ζ η r1 = γ1 (ζ1 + η1) + δ ζ η, oder wenn nach [FORMEL] jeder der drei Buchstaben der oberen Zeile durch den darunter stehenden ersetzt wird, δ5p = α β + ε q = (a1 + β1) γ + α β δ r = (α1 + β1) γ + α β δ1 s = (α1 + β1) ε p1 = (α1 + β1) ε1 q1 = (α1 + β1) γ1 + α β δ1 r1 = (α1 + β1) γ1 + α β δ s1 = α β + ε1. Mithin stellt x ∘ y = (α β + ε) x y + {(α1 + β1) γ + α β δ} x y1 + + {(α1 + β1) γ + α β δ1} x1 y + (α1 + β1) ε x1 y1 die gesuchte, dem Gesetz δ1) unterworfene Knüpfung vor. Dieselbe ist, wie man sieht, nicht kommutativ, wol aber assoziativ, da die Charakte- ristik β2) der assoziativen Operationen sich hier als erfüllt erweist. Um noch die Charakteristik derselben aufzustellen, hat man der- jenigen δ3) der Unabhängigkeit des (a ∘ b) ∘ (b ∘ c) von b nur noch die Forderung p1 s = 0 hinzuzufügen (cf. δ4); — oder da p1 s (q r + q1 r1) = 0 bereits in der Un- abhängigkeitscharakteristik δ3) enthalten war, so wird letztere von der gesuchten blos um den Term p1 s (q r1 + q1 r) übertroffen, welcher = 0 gesetzt den Exzess dieser Charakteristik über jene darstellt. Die ge- suchte lautet also: δ6) p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) + p s1 (q r + q1 r1) = 0, wo der letzte Term links den Exzess der vorliegenden über die Charakteristik β2) der assoziativen Knüpfungen repräsentirt. In Sub- sumtionenform erhält man aus δ6) (p q r s p q + r + s) (r s q p + r) (q s r p + q).

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/149
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 505. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/149>, abgerufen am 22.11.2024.