Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Siebenundzwanzigste Vorlesung.

oder rechts auf 0 gebracht
(A B1 + A1 B) (x y1 + x1 y) = 0.
Durch Elimination von x, y erhalten wir die Resultante:
A B1 + A1 B = 0 oder A = B
als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass A x + B x1 un-
abhängig von x werde.

In unserem Falle nun müssen also die Koeffizienten von b und b1
einander gleich sein, und zwar für beliebige a, c; es folgt daher:

p + s = p q + q r1 + q1 r + q1 s	= p
p q + q r + p1 q1 s = p q + q s1 + q1 r s	= q
p r + q r + p1 r1 s = p r + r s1 + q r1 s	= r
p q r + q1 r1 s = p s	= s

Lassen wir den letzten Teil rechts, der sich aus der Gleichsetzung
mit a c ergibt, vorerst beiseite, um zunächst nur das Kriterium der
Unabhängigkeit des (a b) (b c) von b zu gewinnen, so sind die
vier Gleichungen linkerhand zunächst auf 0 zu bringen, zu welchem
Ende man ihre beiden Seiten zweckmässig nach q, r oder q r entwickelt.
Man erhält:
p1 s1 (q r1 + q1 r) + p1 s · q r + p s1 · q1 r1 = 0
p1 s (q r + q1 r1) + p1 s1 · q r1 + p s · q1 r = 0
p1 s (q r + q1 r1) + p s · q r1 + p1 s1 · q1 r = 0
p s (q r1 + q1 r) + p s1 · q r + p1 s · q1 r1 = 0,
und als ihre vereinigte Gleichung

d3)	(p s1 + p1 s) (q r + q1 r1) + (p s + p1 s1) (q r1 + q1 r) = 0, oder p s1 + p1 s = q r1 + q1 r, oder p s + p1 s1 = q r + q1 r1,

oder endlich auch
(p q r s p + q + r) (p q s r p + q + s) (p r s q p + r + s) (q r s p q + r + s),
d. h. jeder von den vier Koeffizienten muss zwischen dem Produkt und
der Summe der drei andern liegen.

Um diese Gleichung d3) symmetrisch allgemein zu lösen, ersetze
man sie durch die beiden:
p s1 + p1 s = e, q r1 + q1 r = e;
dann erhält man nach Bd. 1, S. 514:
p = a e1 + b e p1 = a1 e1 + b1 e q = g e1 + d e q1 = g1 e1 + d1 e
s = a e1 + b1 e s1 = a1 e1 + b e r = g e1 + d1 e r1 = g1 e1 + d e

Siebenundzwanzigste Vorlesung.

In unserem Falle nun müssen also die Koeffizienten von b und b1
einander gleich sein, und zwar für beliebige a, c; es folgt daher:

δ2

p + s = p q + q r1 + q1 r + q1 s	= p
p q + q r + p1 q1 s = p q + q s1 + q1 r s	= q
p r + q r + p1 r1 s = p r + r s1 + q r1 s	= r
p q r + q1 r1 s = p s	= s

Lassen wir den letzten Teil rechts, der sich aus der Gleichsetzung
mit a ∘ c ergibt, vorerst beiseite, um zunächst nur das Kriterium der
Unabhängigkeit des (a ∘ b) ∘ (b ∘ c) von b zu gewinnen, so sind die
vier Gleichungen linkerhand zunächst auf 0 zu bringen, zu welchem
Ende man ihre beiden Seiten zweckmässig nach q, r oder q r entwickelt.
Man erhält:
p1 s1 (q r1 + q1 r) + p1 s · q r + p s1 · q1 r1 = 0
p1 s (q r + q1 r1) + p1 s1 · q r1 + p s · q1 r = 0
p1 s (q r + q1 r1) + p s · q r1 + p1 s1 · q1 r = 0
p s (q r1 + q1 r) + p s1 · q r + p1 s · q1 r1 = 0,
und als ihre vereinigte Gleichung

δ3)	(p s1 + p1 s) (q r + q1 r1) + (p s + p1 s1) (q r1 + q1 r) = 0, oder p s1 + p1 s = q r1 + q1 r, oder p s + p1 s1 = q r + q1 r1,

Um diese Gleichung δ3) symmetrisch allgemein zu lösen, ersetze
man sie durch die beiden:
p s1 + p1 s = ε, q r1 + q1 r = ε;
dann erhält man nach Bd. 1, S. 514:
p = α ε1 + β ε p1 = α1 ε1 + β1 ε q = γ ε1 + δ ε q1 = γ1 ε1 + δ1 ε
s = α ε1 + β1 ε s1 = α1 ε1 + β ε r = γ ε1 + δ1 ε r1 = γ1 ε1 + δ ε

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0148" n="504"/><fw place="top" type="header">Siebenundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
oder rechts auf 0 gebracht<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi>) (<hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi>) = 0.</hi><lb/>
Durch Elimination von <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> erhalten wir die Resultante:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi> = 0 oder <hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">B</hi></hi><lb/>
als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass <hi rendition="#i">A x</hi> + <hi rendition="#i">B x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> un-<lb/>
abhängig von <hi rendition="#i">x</hi> werde.</p><lb/>
            <p>In unserem Falle nun müssen also die Koeffizienten von <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
einander gleich sein, und zwar für beliebige <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>; es folgt daher:<lb/><list rend="braced"><head><hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">2</hi></head><item><table><row><cell><space dim="horizontal"/><hi rendition="#i">p</hi> + <hi rendition="#i">s</hi> = <hi rendition="#i">p q</hi> + <hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi></cell><cell>= <hi rendition="#i">p</hi></cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">p q</hi> + <hi rendition="#i">q r</hi> + <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> = <hi rendition="#i">p q</hi> + <hi rendition="#i">q s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r s</hi></cell><cell>= <hi rendition="#i">q</hi></cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">p r</hi> + <hi rendition="#i">q r</hi> + <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> = <hi rendition="#i">p r</hi> + <hi rendition="#i">r s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi></cell><cell>= <hi rendition="#i">r</hi></cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">p q r</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> = <hi rendition="#i">p s</hi></cell><cell>= <hi rendition="#i">s</hi></cell></row><lb/></table></item></list> Lassen wir den letzten Teil rechts, der sich aus der Gleichsetzung<lb/>
mit <hi rendition="#i">a</hi> &#x2218; <hi rendition="#i">c</hi> ergibt, vorerst beiseite, um zunächst nur das Kriterium der<lb/>
Unabhängigkeit des (<hi rendition="#i">a</hi> &#x2218; <hi rendition="#i">b</hi>) &#x2218; (<hi rendition="#i">b</hi> &#x2218; <hi rendition="#i">c</hi>) von <hi rendition="#i">b</hi> zu gewinnen, so sind die<lb/>
vier Gleichungen linkerhand zunächst auf 0 zu bringen, zu welchem<lb/>
Ende man ihre beiden Seiten zweckmässig nach <hi rendition="#i">q</hi>, <hi rendition="#i">r</hi> oder <hi rendition="#i">q r</hi> entwickelt.<lb/>
Man erhält:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi>) + <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> · <hi rendition="#i">q r</hi> + <hi rendition="#i">p s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> · <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0<lb/><hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> (<hi rendition="#i">q r</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> · <hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">p s</hi> · <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi> = 0<lb/><hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> (<hi rendition="#i">q r</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">p s</hi> · <hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> · <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi> = 0<lb/><hi rendition="#i">p s</hi> (<hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi>) + <hi rendition="#i">p s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> · <hi rendition="#i">q r</hi> + <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> · <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0,</hi><lb/>
und als ihre vereinigte Gleichung<lb/><list rend="braced"><head><hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">3</hi>)</head><item><hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">p s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi>) (<hi rendition="#i">q r</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + (<hi rendition="#i">p s</hi> + <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi>) = 0,<lb/>
oder <hi rendition="#i">p s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> = <hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi>, oder <hi rendition="#i">p s</hi> + <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">q r</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,</hi></item></list><lb/>
oder endlich auch<lb/>
(<hi rendition="#i">p q r <g ref="subeq"/> s <g ref="subeq"/> p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi> + <hi rendition="#i">r</hi>) (<hi rendition="#i">p q s <g ref="subeq"/> r <g ref="subeq"/> p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi> + <hi rendition="#i">s</hi>) (<hi rendition="#i">p r s <g ref="subeq"/> q <g ref="subeq"/> p</hi> + <hi rendition="#i">r</hi> + <hi rendition="#i">s</hi>) (<hi rendition="#i">q r s <g ref="subeq"/> p <g ref="subeq"/> q</hi> + <hi rendition="#i">r</hi> + <hi rendition="#i">s</hi>),<lb/>
d. h. jeder von den vier Koeffizienten muss zwischen dem Produkt und<lb/>
der Summe der drei andern liegen.</p><lb/>
            <p>Um diese Gleichung <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) symmetrisch allgemein zu lösen, ersetze<lb/>
man sie durch die beiden:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi>, <hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi>;</hi><lb/>
dann erhält man nach Bd. 1, S. 514:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2; &#x03B5; p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B5; q</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3; &#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4; &#x03B5; q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B5;<lb/>
s</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B5; s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2; &#x03B5; r</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3; &#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B5; r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4; &#x03B5;</hi></hi><lb/></p>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[504/0148] Siebenundzwanzigste Vorlesung. oder rechts auf 0 gebracht (A B1 + A1 B) (x y1 + x1 y) = 0. Durch Elimination von x, y erhalten wir die Resultante: A B1 + A1 B = 0 oder A = B als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass A x + B x1 un- abhängig von x werde. In unserem Falle nun müssen also die Koeffizienten von b und b1 einander gleich sein, und zwar für beliebige a, c; es folgt daher: δ2 p + s = p q + q r1 + q1 r + q1 s = p p q + q r + p1 q1 s = p q + q s1 + q1 r s = q p r + q r + p1 r1 s = p r + r s1 + q r1 s = r p q r + q1 r1 s = p s = s Lassen wir den letzten Teil rechts, der sich aus der Gleichsetzung mit a ∘ c ergibt, vorerst beiseite, um zunächst nur das Kriterium der Unabhängigkeit des (a ∘ b) ∘ (b ∘ c) von b zu gewinnen, so sind die vier Gleichungen linkerhand zunächst auf 0 zu bringen, zu welchem Ende man ihre beiden Seiten zweckmässig nach q, r oder q r entwickelt. Man erhält: p1 s1 (q r1 + q1 r) + p1 s · q r + p s1 · q1 r1 = 0 p1 s (q r + q1 r1) + p1 s1 · q r1 + p s · q1 r = 0 p1 s (q r + q1 r1) + p s · q r1 + p1 s1 · q1 r = 0 p s (q r1 + q1 r) + p s1 · q r + p1 s · q1 r1 = 0, und als ihre vereinigte Gleichung δ3) (p s1 + p1 s) (q r + q1 r1) + (p s + p1 s1) (q r1 + q1 r) = 0, oder p s1 + p1 s = q r1 + q1 r, oder p s + p1 s1 = q r + q1 r1, oder endlich auch (p q r s p + q + r) (p q s r p + q + s) (p r s q p + r + s) (q r s p q + r + s), d. h. jeder von den vier Koeffizienten muss zwischen dem Produkt und der Summe der drei andern liegen. Um diese Gleichung δ3) symmetrisch allgemein zu lösen, ersetze man sie durch die beiden: p s1 + p1 s = ε, q r1 + q1 r = ε; dann erhält man nach Bd. 1, S. 514: p = α ε1 + β ε p1 = α1 ε1 + β1 ε q = γ ε1 + δ ε q1 = γ1 ε1 + δ1 ε s = α ε1 + β1 ε s1 = α1 ε1 + β ε r = γ ε1 + δ1 ε r1 = γ1 ε1 + δ ε

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/148
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 504. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/148>, abgerufen am 22.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.