Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Siebenundzwanzigste Vorlesung.

Dieselben sind je für sich wieder assoziative Knüpfungen oder
symbolische Multiplikationen; denn die Charakteristik b2) ist erfüllt
wie für die erste derselben:
p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) = 0,
so auch für die ihr zugeordneten Knüpfungen:
a'1 h' + (a'1 + h') (b' g'1 + b'1 g') = 0
a1 f + (a1 + f) (b e1 + b1 e) = 0
c1 h + (c1 + h) (d g1 + d1 g) = 0,
wie man leicht nachrechnet.

g) Distributiver Zusammenhang. Welches sind die Bedingungen
dafür, dass zwei Knüpfungen, die als symbolische Multiplikation und
Addition bezeichnet werden mögen:
x y = p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1
x y = a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1,
in dem distributiven Zusammenhang stehen:
x (y z) = x y x z?

Es wird
x (y z) = (p x + r x1) (a y z + b y z1 + c y1 z + d y1 z1 +
+ (q x + s x1) (a1 y z + b1 y z1 + c1 y1 z + d1 y1 z1) =
= (a p + a1 q) x y z + (b p + b1 q) x y z1 +
+ (c p + c1 q) x y1 z + (d p + d1 q) x y1 z1 +
+ (a r + a1 s) x1 y z + (b r + b1 s) x1 y z1 +
+ (c r + c1 s) x1 y1 z + (d r + d1 s) x1 y1 z1,
und andrerseits
x y x z =
= a (p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1) (p x z + q x z1 + r x1 z + s x1 z1) +
+ b (p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1) (p1 x z + q1 x z1 + r1 x1 z + s1 x1 z1) +
+ c (p1 x y + q1 x y1 + r1 x1 y + s1 x1 y1) (p x z + q x z1 + r x1 z + s x1 z1) +
+ d (p1 x y + q1 x y1 + r1 x1 y + s1 x1 y1) (p1 x z + q1 x z1 + r1 x1 z + s1 x1 z1) =
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+ (a r + d r1) x1 y z + (a r s + b r s1 + c r1 s + d r1 s1) x1 y z1 +
+ (a r s + c r s1 + b r1 s + d r1 s1) x1 y1 z + (a s + d s1) x1 y1 z1.

Siebenundzwanzigste Vorlesung.

Dieselben sind je für sich wieder assoziative Knüpfungen oder
symbolische Multiplikationen; denn die Charakteristik β2) ist erfüllt
wie für die erste derselben:
p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) = 0,
so auch für die ihr zugeordneten Knüpfungen:
a'1 h' + (a'1 + h') (b' g'1 + b'1 g') = 0
a1 f + (a1 + f) (b e1 + b1 e) = 0
c1 h + (c1 + h) (d g1 + d1 g) = 0,
wie man leicht nachrechnet.

γ) Distributiver Zusammenhang. Welches sind die Bedingungen
dafür, dass zwei Knüpfungen, die als symbolische Multiplikation und
Addition bezeichnet werden mögen:
x ∘ y = p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1
x y = a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1,
in dem distributiven Zusammenhang stehen:
x ∘ (y z) = x ∘ y x ∘ z?

Es wird
x ∘ (y z) = (p x + r x1) (a y z + b y z1 + c y1 z + d y1 z1 +
+ (q x + s x1) (a1 y z + b1 y z1 + c1 y1 z + d1 y1 z1) =
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+ (c p + c1 q) x y1 z + (d p + d1 q) x y1 z1 +
+ (a r + a1 s) x1 y z + (b r + b1 s) x1 y z1 +
+ (c r + c1 s) x1 y1 z + (d r + d1 s) x1 y1 z1,
und andrerseits
x ∘ y x ∘ z =
= a (p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1) (p x z + q x z1 + r x1 z + s x1 z1) +
+ b (p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1) (p1 x z + q1 x z1 + r1 x1 z + s1 x1 z1) +
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[502/0146] Siebenundzwanzigste Vorlesung. Dieselben sind je für sich wieder assoziative Knüpfungen oder symbolische Multiplikationen; denn die Charakteristik β2) ist erfüllt wie für die erste derselben: p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) = 0, so auch für die ihr zugeordneten Knüpfungen: a'1 h' + (a'1 + h') (b' g'1 + b'1 g') = 0 a1 f + (a1 + f) (b e1 + b1 e) = 0 c1 h + (c1 + h) (d g1 + d1 g) = 0, wie man leicht nachrechnet. γ) Distributiver Zusammenhang. Welches sind die Bedingungen dafür, dass zwei Knüpfungen, die als symbolische Multiplikation und Addition bezeichnet werden mögen: x ∘ y = p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1 x y = a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1, in dem distributiven Zusammenhang stehen: x ∘ (y z) = x ∘ y x ∘ z? Es wird x ∘ (y z) = (p x + r x1) (a y z + b y z1 + c y1 z + d y1 z1 + + (q x + s x1) (a1 y z + b1 y z1 + c1 y1 z + d1 y1 z1) = = (a p + a1 q) x y z + (b p + b1 q) x y z1 + + (c p + c1 q) x y1 z + (d p + d1 q) x y1 z1 + + (a r + a1 s) x1 y z + (b r + b1 s) x1 y z1 + + (c r + c1 s) x1 y1 z + (d r + d1 s) x1 y1 z1, und andrerseits x ∘ y x ∘ z = = a (p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1) (p x z + q x z1 + r x1 z + s x1 z1) + + b (p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1) (p1 x z + q1 x z1 + r1 x1 z + s1 x1 z1) + + c (p1 x y + q1 x y1 + r1 x1 y + s1 x1 y1) (p x z + q x z1 + r x1 z + s x1 z1) + + d (p1 x y + q1 x y1 + r1 x1 y + s1 x1 y1) (p1 x z + q1 x z1 + r1 x1 z + s1 x1 z1) = = a (p y + q y1) (p z + q z1) x + a (r y + s y1) (r z + s z1) x1 + + b (p y + q y1) (p1 z + q1 z1) x + b (r y + s y1) (r1 z + s1 z1) x1 + + c (p1 y + q1 y1) (p z + q z1) x + c (r1 y + s1 y1) (r z + s z1) x1 + + d (p1 y + q1 y1) (p1 z + q1 z1) x + d (r1 y + s1 y1) (r1 z + s1 z1) x1 = = (a p + d p1) x y z + (a p q + b p q1 + c p1 q + d p1 q1) x y z1 + + (a p q + c p q1 + b p1 q + d p1 q1) x y1 z + (a q + d q1) x y1 z1 + + (a r + d r1) x1 y z + (a r s + b r s1 + c r1 s + d r1 s1) x1 y z1 + + (a r s + c r s1 + b r1 s + d r1 s1) x1 y1 z + (a s + d s1) x1 y1 z1.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 502. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/146>, abgerufen am 23.11.2024.

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