Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Siebenundzwanzigste Vorlesung.

worin die fünf Gebiete α, β, γ, δ, ε arbiträre Parameter vorstellen;
und zwar kann unter ihnen ε noch nach Belieben festgesetzt werden
(z. B. = 0 oder 1) unbeschadet der Allgemeinheit.

Als der übereinstimmende Wert von (x ∘ y) ∘ z und x ∘ (y ∘ z) stellt
sich heraus, (indem die Probe stimmt):

β_4)

x ∘ y ∘ z = (α + β + γ + δ) x y z + {(α β_1 + α_1 β + α_1 β_1 γ) δ + α β ε} x y z_1 + + {(α + β + γ) δ + α β} x y_1 z + {α_1 β_1 γ + (α_1 + β_1) δ + α β ε} x y_1 z_1 + + {(α α_1 + α_1 β + α_1 β_1 γ) δ + α β ε_1} x_1 y z + {α_1 β_1 γ + (α_1 + β_1) δ} x_1 y z_1 + + {α_1 β_1 γ + (α_1 + β_1) δ + α β ε_1} x_1 y_1 z + α_1 β_1 γ δ x_1 y_1 z_1.

Wir substituiren hierin z ∘ u für z, um nun auch x ∘ y ∘ z ∘ u
sorgfältig zu berechnen. Hierbei treten merkwürdigerweise alle Koeffi-
zienten bis auf viere doppelt auf:

β_5)

x ∘ y ∘ z ∘ u = (α + β + γ) x u · y z + {α_1 β_1 γ + (α + β) δ + α β} x u · y_1 z_1 + + [{(α_1 + β_1) δ + α β ε} x u_1 + {(α_1 + β_1) δ + α β ε_1} x_1 u](y z + y_1 z_1) + + {α_1 β_1 γ + (α β_1 + α_1 β) δ} x_1 u_1 · y z + α_1 β_1 γ x_1 u_1 · y_1 z_1 + + [(α β + δ) x u + {α_1 β_1 γ + (α β_1 + α_1 β) δ + α β ε} x u_1 + + {α_1 β_1 γ + (α β_1 + α_1 β) δ + α β ε_1} x_1 u + (α_1 + β_1) δ x_1 u_1](y z_1 + y_1 z).

Die beiden Glieder in der ersten und resp. in der dritten Zeile würden
sich analog zusammenziehen, wenn
α₁ β₁ γ + (α + β) δ + α β = α + β + γ, α₁ β₁ γ + (α β₁ + α₁ β) δ = α₁ β₁ γ
wäre; diese beiden Bedingungen laufen aber hinaus auf folgende:
(α β₁ + α₁ β) δ₁ = 0, (α β₁ + α₁ β) δ = 0
oder
α = β.

Bedingungslos aber stellt der Ausdruck in der letzten eckigen
Klammer auch seinerseits wieder eine assoziative Knüpfung vor.

Streng geordnet ist

β₆)

x ∘ y ∘ z ∘ u = (α + β + γ) x y z u + {(α₁ + β₁) δ + α β ε} x y z u₁ +
+ (α β + δ) x y z₁ u + {α₁ β₁ γ + (α β₁ + α₁ β) δ + α β ε} x y z₁ u₁ +
+ (α β + δ) x y₁ z u + {α₁ β₁ γ + (α β₁ + α₁ β) δ + α β ε} x y₁ z u₁ +
+ {α₁ β₁ γ + (α + β) δ + α β} x y₁ z₁ u + {(α₁ + β₁) δ + α β ε} x y₁ z₁ u₁ +
+ {(α₁ + β₁) δ + α β ε₁} x₁ y z u + {α₁ β₁ γ + (α β₁ + α₁ β) δ} x₁ y z u₁ +
+ {α₁ β₁ γ + (α β₁ + α₁ β) δ + α β ε₁} x₁ y z₁ u + (α₁ + β₁) δ x₁ y z₁ u₁ +
+ {α₁ β₁ γ + (α β₁ + α₁ β) δ + α β ε₁} x₁ y₁ z u + (α₁ + β₁) δ x₁ y₁ z u₁ +
+ {(α₁ + β₁) δ + α β ε₁} x₁ y₁ z₁ u + α₁ β₁ γ x₁ y₁ z₁ u₁.