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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Sechsundzwanzigste Vorlesung.
falsch; bedeutet dagegen P z. B. ein Rechteck, in welchem zwar
B = 1, aber A = 0 ist, so erweist sich die Verneinung von A = B
in jeder der beiden Formen A1 = B und A = B1 als richtig. Soll
endlich der allgemeine Satz negirt werden, so ist derselbe zuvor als
allgemein gültiger hinlänglich auszudrücken in der Gestalt
[Formel 1] (A = B),
wo das Produkt zu erstrecken ist über alle erdenklichen Kreisvielecke P.
Die Negation nach 2)
[Formel 2] (A B), = [Formel 3] (A1 = B), = [Formel 4] (A = B1)
ist erfüllt, wenn auch nur ein einziges P, z. B. ein Rechteck, gleich-
winklig ist, ohne gleichseitig zu sein.

e) Als letztes Einwurfsbeispiel von Frau Franklin sei noch
folgendes erwähnt: Es bedeute A den Komplex aller Prinzipien und Defi-
nitionen des logischen Kalkuls, soweit sie in Bd. 1 bis zur Seite 291 dar-
gelegt worden, -- und B das volle Distributionsgesetz
B = {a (b + c) = a b + a c}.
Alsdann hat Schröder gezeigt, dass B nicht aus A notwendig folgt,
m. a. W. dass
A B oder A B1 = 0
verneint werden muss, in der Form
A B1 0,
insofern Fälle nachgewiesen wurden, wo A erfüllt, B aber nicht erfüllt
ist. -- Nach Schröders Satz 1) wird daraus nun aber
A B1 = 1 oder A1 + B = 0
(durch Kontraposition), oder endlich durch beiderseitige Multiplikation mit A
A B = 0;
das heisst: Die Wahrheit von A ist inkonsistent, unverträglich mit der-
jenigen von B!

Behufs Richtigstellung hat man hier vielmehr die Aussage
A [Formel 5] B
zu verneinen, und erhält dann
A · P B = 0
als richtigen Ausdruck der Inkonsistenz von A mit B nicht für alle mög-
lichen Wertetripel a, b, c, sondern nur für irgend welche unter ihnen.

Moral: Soll eine allgemeine Formel C negirt werdne, so bringe
man zuvor die angebliche Allgemeingültigkeit zum Ausdruck mittelst
eines P-Zeichens; es wird dann
(P C)1 = S C1

Sechsundzwanzigste Vorlesung.
falsch; bedeutet dagegen P z. B. ein Rechteck, in welchem zwar
B = 1̇, aber A = 0 ist, so erweist sich die Verneinung von A = B
in jeder der beiden Formen A1 = B und A = B1 als richtig. Soll
endlich der allgemeine Satz negirt werden, so ist derselbe zuvor als
allgemein gültiger hinlänglich auszudrücken in der Gestalt
[Formel 1] (A = B),
wo das Produkt zu erstrecken ist über alle erdenklichen Kreisvielecke P.
Die Negation nach 2)
[Formel 2] (A ≠ B), = [Formel 3] (A1 = B), = [Formel 4] (A = B1)
ist erfüllt, wenn auch nur ein einziges P, z. B. ein Rechteck, gleich-
winklig ist, ohne gleichseitig zu sein.

η) Als letztes Einwurfsbeispiel von Frau Franklin sei noch
folgendes erwähnt: Es bedeute A den Komplex aller Prinzipien und Defi-
nitionen des logischen Kalkuls, soweit sie in Bd. 1 bis zur Seite 291 dar-
gelegt worden, — und B das volle Distributionsgesetz
B = {a (b + c) = a b + a c}.
Alsdann hat Schröder gezeigt, dass B nicht aus A notwendig folgt,
m. a. W. dass
A B oder A B1 = 0
verneint werden muss, in der Form
A B1 ≠ 0,
insofern Fälle nachgewiesen wurden, wo A erfüllt, B aber nicht erfüllt
ist. — Nach Schröders Satz 1) wird daraus nun aber
A B1 = 1̇ oder A1 + B = 0
(durch Kontraposition), oder endlich durch beiderseitige Multiplikation mit A
A B = 0;
das heisst: Die Wahrheit von A ist inkonsistent, unverträglich mit der-
jenigen von B!

Behufs Richtigstellung hat man hier vielmehr die Aussage
A [Formel 5] B
zu verneinen, und erhält dann
Α · Π Β = 0
als richtigen Ausdruck der Inkonsistenz von A mit B nicht für alle mög-
lichen Wertetripel a, b, c, sondern nur für irgend welche unter ihnen.

Moral: Soll eine allgemeine Formel C negirt werdne, so bringe
man zuvor die angebliche Allgemeingültigkeit zum Ausdruck mittelst
eines Π-Zeichens; es wird dann
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[472/0116] Sechsundzwanzigste Vorlesung. falsch; bedeutet dagegen P z. B. ein Rechteck, in welchem zwar B = 1̇, aber A = 0 ist, so erweist sich die Verneinung von A = B in jeder der beiden Formen A1 = B und A = B1 als richtig. Soll endlich der allgemeine Satz negirt werden, so ist derselbe zuvor als allgemein gültiger hinlänglich auszudrücken in der Gestalt [FORMEL] (A = B), wo das Produkt zu erstrecken ist über alle erdenklichen Kreisvielecke P. Die Negation nach 2) [FORMEL] (A ≠ B), = [FORMEL] (A1 = B), = [FORMEL] (A = B1) ist erfüllt, wenn auch nur ein einziges P, z. B. ein Rechteck, gleich- winklig ist, ohne gleichseitig zu sein. η) Als letztes Einwurfsbeispiel von Frau Franklin sei noch folgendes erwähnt: Es bedeute A den Komplex aller Prinzipien und Defi- nitionen des logischen Kalkuls, soweit sie in Bd. 1 bis zur Seite 291 dar- gelegt worden, — und B das volle Distributionsgesetz B = {a (b + c) = a b + a c}. Alsdann hat Schröder gezeigt, dass B nicht aus A notwendig folgt, m. a. W. dass A B oder A B1 = 0 verneint werden muss, in der Form A B1 ≠ 0, insofern Fälle nachgewiesen wurden, wo A erfüllt, B aber nicht erfüllt ist. — Nach Schröders Satz 1) wird daraus nun aber A B1 = 1̇ oder A1 + B = 0 (durch Kontraposition), oder endlich durch beiderseitige Multiplikation mit A A B = 0; das heisst: Die Wahrheit von A ist inkonsistent, unverträglich mit der- jenigen von B! Behufs Richtigstellung hat man hier vielmehr die Aussage A [FORMEL] B zu verneinen, und erhält dann Α · Π Β = 0 als richtigen Ausdruck der Inkonsistenz von A mit B nicht für alle mög- lichen Wertetripel a, b, c, sondern nur für irgend welche unter ihnen. Moral: Soll eine allgemeine Formel C negirt werdne, so bringe man zuvor die angebliche Allgemeingültigkeit zum Ausdruck mittelst eines Π-Zeichens; es wird dann (Π C)1 = Σ C1

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 472. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/116>, abgerufen am 24.11.2024.