Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
drücke auch äusserlich kundgebe, zumeist erforderlich sein, dieselben
auf ihre einfachste Gestalt zu reduziren, wo nicht, sie nach den in
ihnen vorkommenden Symbolen erst beide zu entwickeln -- gemäss § 19.

Ebenso können Subsumtionen A B nachgerechnet werden, indem
man zuerst das "Gewicht" A1 B derselben aufsucht, und sich überzeugt,
dass dasselbe zur Gültigkeitsklasse des Minor A (d. i. zu der "Voraus-
setzung" des durch die Subsumtion ausgedrückten Satzes) addirt in
der That diejenige des Major B (oder der "Behauptung" ebendieses
Satzes) liefert.

Bei der Ausführung*) wird dies leicht vollkommen deutlich zu
machen sein.

Prinzip I gibt die Gültigkeitsklasse (gemäss l)):
(a a) = a1 + a = 1;
hier also stimmt die Probe.

Prinzip II lautete: A B, wenn für den Augenblick A diese
Behauptung:
A = (a b) (b c) und wenn B = (a c)
bedeutet. Nach Schema l) wird hier:
A = (a1 + b) (b1 + c) = a1 b1 + b c und B = a1 + c.

Nach § 21, e) rechts lässt die Konklusion B sich erreichen, indem
man in A den Eliminanden b tilgt.

Behufs direkter Verifikation mag man aber auch erstlich nach-
sehen, dass A1 + B = i ist; in der That wird:
A1 + B = a b1 + b c1 + a1 + c = b1 + b + a1 + c = 1 + a1 + c = 1.

Oder man mag nachsehen, dass A B1 = 0 ist:
A B1 = (a1 b1 + b c) a c1 = 0 + 0 = 0.

Oder endlich man mag Minor und Major für sich entwickeln:
A = a1 b1 (c + c1) + (a + a1) b c, B = (a1 c + a1 c1 + a c) (b + b1), also
A = a b c + a1 b c + a1 b1 c + a1 b1 c1, B = A + (a b1 c + a1 b c1),
woraus ersichtlich wird, dass in der That A von B um das "Gewicht":
A1 B = a b1 c + a1 b c1
übertroffen ist. Dies zeigt (nebenbei), dass die Fälle, wo a und c gelten,
aber b nicht gilt, sowie wo a und c nicht gelten, aber b gilt, die-

*) Die Keime zu den Entwickelungen finden (wie gesagt) sich schon bei Peirce8
-- mit einer sonderbaren Auffassung -- vergl. ibid. pag. 192 auf 193, und, früher
noch, bei McColl3.

§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
drücke auch äusserlich kundgebe, zumeist erforderlich sein, dieselben
auf ihre einfachste Gestalt zu reduziren, wo nicht, sie nach den in
ihnen vorkommenden Symbolen erst beide zu entwickeln — gemäss § 19.

Ebenso können Subsumtionen A ⊆ B nachgerechnet werden, indem
man zuerst das „Gewicht“ A1 B derselben aufsucht, und sich überzeugt,
dass dasselbe zur Gültigkeitsklasse des Minor A (d. i. zu der „Voraus-
setzung“ des durch die Subsumtion ausgedrückten Satzes) addirt in
der That diejenige des Major B (oder der „Behauptung“ ebendieses
Satzes) liefert.

Bei der Ausführung*) wird dies leicht vollkommen deutlich zu
machen sein.

Prinzip I gibt die Gültigkeitsklasse (gemäss λ)):
(a ⊆ a) = a1 + a = 1;
hier also stimmt die Probe.

Prinzip II lautete: A ⊆ B, wenn für den Augenblick A diese
Behauptung:
A = (a ⊆ b) (b ⊆ c) und wenn B = (a ⊆ c)
bedeutet. Nach Schema λ) wird hier:
A = (a1 + b) (b1 + c) = a1 b1 + b c und B = a1 + c.

Nach § 21, η) rechts lässt die Konklusion B sich erreichen, indem
man in A den Eliminanden b tilgt.

Behufs direkter Verifikation mag man aber auch erstlich nach-
sehen, dass A1 + B = i ist; in der That wird:
A1 + B = a b1 + b c1 + a1 + c = b1 + b + a1 + c = 1 + a1 + c = 1.

Oder man mag nachsehen, dass A B1 = 0 ist:
A B1 = (a1 b1 + b c) a c1 = 0 + 0 = 0.

Oder endlich man mag Minor und Major für sich entwickeln:
A = a1 b1 (c + c1) + (a + a1) b c, B = (a1 c + a1 c1 + a c) (b + b1), also
A = a b c + a1 b c + a1 b1 c + a1 b1 c1, B = A + (a b1 c + a1 b c1),
woraus ersichtlich wird, dass in der That A von B um das „Gewicht“:
A1 B = a b1 c + a1 b c1
übertroffen ist. Dies zeigt (nebenbei), dass die Fälle, wo a und c gelten,
aber b nicht gilt, sowie wo a und c nicht gelten, aber b gilt, die-

*) Die Keime zu den Entwickelungen finden (wie gesagt) sich schon bei Peirce8
— mit einer sonderbaren Auffassung — vergl. ibid. pag. 192 auf 193, und, früher
noch, bei McColl3.
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0097" n="73"/><fw place="top" type="header">§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.</fw><lb/>
drücke auch äusserlich kundgebe, zumeist erforderlich sein, dieselben<lb/>
auf ihre einfachste Gestalt zu reduziren, wo nicht, sie nach den in<lb/>
ihnen vorkommenden Symbolen erst beide zu entwickeln &#x2014; gemäss § 19.</p><lb/>
            <p>Ebenso können Subsumtionen <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> nachgerechnet werden, indem<lb/>
man zuerst das &#x201E;Gewicht&#x201C; <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi> derselben aufsucht, und sich überzeugt,<lb/>
dass dasselbe zur Gültigkeitsklasse des Minor <hi rendition="#i">A</hi> (d. i. zu der &#x201E;Voraus-<lb/>
setzung&#x201C; des durch die Subsumtion ausgedrückten Satzes) addirt in<lb/>
der That diejenige des Major <hi rendition="#i">B</hi> (oder der &#x201E;Behauptung&#x201C; ebendieses<lb/>
Satzes) liefert.</p><lb/>
            <p>Bei der Ausführung<note place="foot" n="*)">Die Keime zu den Entwickelungen finden (wie gesagt) sich schon bei <hi rendition="#g">Peirce</hi><hi rendition="#sup">8</hi><lb/>
&#x2014; mit einer sonderbaren Auffassung &#x2014; vergl. ibid. pag. 192 auf 193, und, früher<lb/>
noch, bei <hi rendition="#g">McColl</hi><hi rendition="#sup">3</hi>.</note> wird dies leicht vollkommen deutlich zu<lb/>
machen sein.</p><lb/>
            <p><hi rendition="#g">Prinzip</hi> I gibt die Gültigkeitsklasse (gemäss <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi>)):<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> = 1;</hi><lb/>
hier also stimmt die Probe.</p><lb/>
            <p><hi rendition="#g">Prinzip</hi> II lautete: <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi>, wenn für den Augenblick <hi rendition="#i">A</hi> diese<lb/>
Behauptung:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) und wenn <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>)</hi><lb/>
bedeutet. Nach Schema <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi>) wird hier:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>.</hi></p><lb/>
            <p>Nach § 21, <hi rendition="#i">&#x03B7;</hi>) rechts lässt die Konklusion <hi rendition="#i">B</hi> sich erreichen, indem<lb/>
man in <hi rendition="#i">A</hi> den Eliminanden <hi rendition="#i">b</hi> tilgt.</p><lb/>
            <p>Behufs direkter Verifikation mag man aber auch erstlich nach-<lb/>
sehen, dass <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">B</hi> = i ist; in der That wird:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">B</hi> = <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> = 1 + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> = 1.</hi></p><lb/>
            <p>Oder man mag nachsehen, dass <hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0 ist:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi>) <hi rendition="#i">a c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0 + 0 = 0.</hi></p><lb/>
            <p>Oder endlich man mag Minor und Major für sich entwickeln:<lb/><hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">b c</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a c</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>), also<lb/><hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">a b c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> = <hi rendition="#i">A</hi> + (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>),<lb/>
woraus ersichtlich wird, dass in der That <hi rendition="#i">A</hi> von <hi rendition="#i">B</hi> um das &#x201E;Gewicht&#x201C;:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">B</hi> = <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/>
übertroffen ist. Dies zeigt (nebenbei), dass die Fälle, wo <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">c</hi> gelten,<lb/>
aber <hi rendition="#i">b</hi> nicht gilt, sowie wo <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">c</hi> nicht gelten, aber <hi rendition="#i">b</hi> gilt, die-<lb/></p>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[73/0097] § 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen. drücke auch äusserlich kundgebe, zumeist erforderlich sein, dieselben auf ihre einfachste Gestalt zu reduziren, wo nicht, sie nach den in ihnen vorkommenden Symbolen erst beide zu entwickeln — gemäss § 19. Ebenso können Subsumtionen A  B nachgerechnet werden, indem man zuerst das „Gewicht“ A1 B derselben aufsucht, und sich überzeugt, dass dasselbe zur Gültigkeitsklasse des Minor A (d. i. zu der „Voraus- setzung“ des durch die Subsumtion ausgedrückten Satzes) addirt in der That diejenige des Major B (oder der „Behauptung“ ebendieses Satzes) liefert. Bei der Ausführung *) wird dies leicht vollkommen deutlich zu machen sein. Prinzip I gibt die Gültigkeitsklasse (gemäss λ)): (a  a) = a1 + a = 1; hier also stimmt die Probe. Prinzip II lautete: A  B, wenn für den Augenblick A diese Behauptung: A = (a  b) (b  c) und wenn B = (a  c) bedeutet. Nach Schema λ) wird hier: A = (a1 + b) (b1 + c) = a1 b1 + b c und B = a1 + c. Nach § 21, η) rechts lässt die Konklusion B sich erreichen, indem man in A den Eliminanden b tilgt. Behufs direkter Verifikation mag man aber auch erstlich nach- sehen, dass A1 + B = i ist; in der That wird: A1 + B = a b1 + b c1 + a1 + c = b1 + b + a1 + c = 1 + a1 + c = 1. Oder man mag nachsehen, dass A B1 = 0 ist: A B1 = (a1 b1 + b c) a c1 = 0 + 0 = 0. Oder endlich man mag Minor und Major für sich entwickeln: A = a1 b1 (c + c1) + (a + a1) b c, B = (a1 c + a1 c1 + a c) (b + b1), also A = a b c + a1 b c + a1 b1 c + a1 b1 c1, B = A + (a b1 c + a1 b c1), woraus ersichtlich wird, dass in der That A von B um das „Gewicht“: A1 B = a b1 c + a1 b c1 übertroffen ist. Dies zeigt (nebenbei), dass die Fälle, wo a und c gelten, aber b nicht gilt, sowie wo a und c nicht gelten, aber b gilt, die- *) Die Keime zu den Entwickelungen finden (wie gesagt) sich schon bei Peirce8 — mit einer sonderbaren Auffassung — vergl. ibid. pag. 192 auf 193, und, früher noch, bei McColl3.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/97
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 73. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/97>, abgerufen am 24.11.2024.