Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 32. Vom Gewicht der Aussagen. oder rückwärts als Subsumtion lesen, denn 0 ist immer die zur einenSeite disjunkte Ergänzung von ebendieser zur andern Seite der Gleichung. Übrigens brauchen äquivalente Subsumtionen nicht gleiches Ge- Denn ist (A B) = (C D) so folgt zwar A1 + B = C1 + D nach [Abbildung]
[Abbildung]
Fig. 8. können diese Relationen doch sehr wohl bestehen,ohne dass A1 B = C1 D sein müsste, sowie umgekehrt. Ersteres zeigt die Figur 8, worin A ein Kreis, Eine vierte Klasse: A + B1, die Negation Nachdem für jede Subsumtion die gestellte Aufgabe der Ermit- Jenes heisst: die Gleichung zwischen zwei Aussagen ist immer dann Ungültig ist die Gleichung in den Fällen A B1 + A1 B, d. h. sobald Soll die Gleichung wahr sein, sonach also -- in Anbetracht ihres § 32. Vom Gewicht der Aussagen. oder rückwärts als Subsumtion lesen, denn 0 ist immer die zur einenSeite disjunkte Ergänzung von ebendieser zur andern Seite der Gleichung. Übrigens brauchen äquivalente Subsumtionen nicht gleiches Ge- Denn ist (A ⊆ B) = (C ⊆ D) so folgt zwar A1 + B = C1 + D nach [Abbildung]
[Abbildung]
Fig. 8. können diese Relationen doch sehr wohl bestehen,ohne dass A1 B = C1 D sein müsste, sowie umgekehrt. Ersteres zeigt die Figur 8, worin A ein Kreis, Eine vierte Klasse: A + B1, die Negation Nachdem für jede Subsumtion die gestellte Aufgabe der Ermit- Jenes heisst: die Gleichung zwischen zwei Aussagen ist immer dann Ungültig ist die Gleichung in den Fällen A B1 + A1 B, d. h. sobald Soll die Gleichung wahr sein, sonach also — in Anbetracht ihres <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0095" n="71"/><fw place="top" type="header">§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.</fw><lb/> oder rückwärts als Subsumtion lesen, denn 0 ist immer die zur einen<lb/> Seite disjunkte Ergänzung von ebendieser zur andern Seite der Gleichung.</p><lb/> <p>Übrigens brauchen äquivalente Subsumtionen nicht gleiches Ge-<lb/> wicht zu haben [und vice versā: Subsumtionen von gleichem Gewicht<lb/> brauchen nicht äquivalent zu sein, abgesehen von der engeren Geltung].</p><lb/> <p>Denn ist (<hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi>) = (<hi rendition="#i">C</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">D</hi>) so folgt zwar <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">B</hi> = <hi rendition="#i">C</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">D</hi> nach<lb/><hi rendition="#i">λ</hi>), und hieraus durch beiderseitiges Negiren auch <hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">C D</hi><hi rendition="#sub">1</hi>; dagegen<lb/><figure/> <figure><head>Fig. 8.</head></figure><lb/> können diese Relationen doch sehr wohl bestehen,<lb/> ohne dass <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi> = <hi rendition="#i">C</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">D</hi> sein müsste, sowie umgekehrt.</p><lb/> <p>Ersteres zeigt die Figur 8, worin <hi rendition="#i">A</hi> ein Kreis,<lb/><hi rendition="#i">B</hi> und <hi rendition="#i">D</hi> (überhalbkreisgrosse) Segmente, und <hi rendition="#i">C</hi> das<lb/> symmetrische Doppelsegment vorstellt.</p><lb/> <p>Eine vierte Klasse: <hi rendition="#i">A</hi> + <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, die Negation<lb/> des Gewichts, als eine bei der Subsumtion<lb/><hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> belangreiche zu betrachten, wird durch<lb/> die Betrachtung des Gewichts selbst überflüssig gemacht.</p><lb/> <milestone rendition="#hr" unit="section"/> <p>Nachdem für jede Subsumtion die gestellte Aufgabe der Ermit-<lb/> telung ihrer Gültigkeitsklasse gelöst ist, lässt sich die Frage auch für<lb/> jede Gleichung leicht beantworten. Nach Def. (1) ist ja die Gleichung<lb/> nichts als das Produkt zweier Subsumtionen:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">B</hi>) = (<hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi>) (<hi rendition="#i">B</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">A</hi>)</hi><lb/> und setzt man hier für die Subsumtionen rechterhand ihre Gültigkeits-<lb/> klassen, gebildet nach dem Schema des Th. <hi rendition="#i">λ</hi>), ein, so ergibt sich nach<lb/> Ausmultiplizirung von (<hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">B</hi>) (<hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">A</hi>) als die gesuchte Darstellung:<lb/><hi rendition="#i">μ</hi>) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">B</hi>) = <hi rendition="#i">A B</hi> + <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/> und damit zugleich ist auch gewonnen:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">A</hi> ≠ <hi rendition="#i">B</hi>) = <hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi>.</hi></p><lb/> <p>Jenes heisst: <hi rendition="#i">die Gleichung zwischen zwei Aussagen ist immer dann<lb/> und nur dann erfüllt</hi>, <hi rendition="#i">wenn sie beide zugleich gelten</hi>, <hi rendition="#i">oder alle beide nicht<lb/> gelten</hi> — was sich bei der für uns maassgebenden Fassung der Aus-<lb/> sagenäquivalenz ohnehin versteht.</p><lb/> <p>Ungültig ist die Gleichung in den Fällen <hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi>, d. h. sobald<lb/> die eine Aussage gilt, die andere aber nicht gilt.</p><lb/> <p>Soll die Gleichung wahr sein, sonach also — in Anbetracht ihres<lb/> konstanten Sinnes — <hi rendition="#i">stets</hi> wahr sein, so muss die letztere oder Un-<lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [71/0095]
§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.
oder rückwärts als Subsumtion lesen, denn 0 ist immer die zur einen
Seite disjunkte Ergänzung von ebendieser zur andern Seite der Gleichung.
Übrigens brauchen äquivalente Subsumtionen nicht gleiches Ge-
wicht zu haben [und vice versā: Subsumtionen von gleichem Gewicht
brauchen nicht äquivalent zu sein, abgesehen von der engeren Geltung].
Denn ist (A  B) = (C  D) so folgt zwar A1 + B = C1 + D nach
λ), und hieraus durch beiderseitiges Negiren auch A B1 = C D1; dagegen
[Abbildung]
[Abbildung Fig. 8.]
können diese Relationen doch sehr wohl bestehen,
ohne dass A1 B = C1 D sein müsste, sowie umgekehrt.
Ersteres zeigt die Figur 8, worin A ein Kreis,
B und D (überhalbkreisgrosse) Segmente, und C das
symmetrische Doppelsegment vorstellt.
Eine vierte Klasse: A + B1, die Negation
des Gewichts, als eine bei der Subsumtion
A  B belangreiche zu betrachten, wird durch
die Betrachtung des Gewichts selbst überflüssig gemacht.
Nachdem für jede Subsumtion die gestellte Aufgabe der Ermit-
telung ihrer Gültigkeitsklasse gelöst ist, lässt sich die Frage auch für
jede Gleichung leicht beantworten. Nach Def. (1) ist ja die Gleichung
nichts als das Produkt zweier Subsumtionen:
(A = B) = (A  B) (B  A)
und setzt man hier für die Subsumtionen rechterhand ihre Gültigkeits-
klassen, gebildet nach dem Schema des Th. λ), ein, so ergibt sich nach
Ausmultiplizirung von (A1 + B) (B1 + A) als die gesuchte Darstellung:
μ) (A = B) = A B + A1 B1
und damit zugleich ist auch gewonnen:
(A ≠ B) = A B1 + A1 B.
Jenes heisst: die Gleichung zwischen zwei Aussagen ist immer dann
und nur dann erfüllt, wenn sie beide zugleich gelten, oder alle beide nicht
gelten — was sich bei der für uns maassgebenden Fassung der Aus-
sagenäquivalenz ohnehin versteht.
Ungültig ist die Gleichung in den Fällen A B1 + A1 B, d. h. sobald
die eine Aussage gilt, die andere aber nicht gilt.
Soll die Gleichung wahr sein, sonach also — in Anbetracht ihres
konstanten Sinnes — stets wahr sein, so muss die letztere oder Un-
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 71. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/95>, abgerufen am 15.08.2024. |