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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
Definitionen und Prinzipien (sei es unmittelbar, sei es mittelbar unter Zu-
zug von noch andern, indess schon ebenso bewiesenen Sätzen).

Wesentlich wird es darnach auf die Reihenfolge ankommen, in welcher
die Sätze untergebracht werden: je nachdem man sich für die eine oder
andere Ordnung entscheidet kann ein und derselbe Satz als Theorem oder
als Prinzip zu gelten haben. Die Reihenfolge ist naturgemäss eingeschränkt
durch die Anforderung, dass Begriffe und ihre Zeichen nicht angewendet
werden dürfen bevor sie, sei es definitionsweise, sei es als Urbegriffe, ein-
geführt worden sind.

Hierbei ist es nun aber noch fraglich, ob es möglich sein wird, auch
die ersten Grundlagen unsrer Erkenntniss im Aussagenkalkul in eine Kette
von logisch in bestimmter Weise sich auseinander entwickelnden Sätzen
aufzulösen, ob nicht vielmehr bei dem Versuche einer solchen Entwickelung
gewisse Zirkel unvermeidlich bleiben und die letzten Grundlagen sich uns
darstellen werden als ein gegebenes Flechtwerk oder Netz von miteinander
konsistenten Begriffen und Grundsätzen, bei dem man zwar von Knoten zu
Knoten die kreuz und die quere entlang zu wandern vermag, ohne jedoch
das Ganze in eine einfache Perlenschnur je auflösen zu können.

Glücklicherweise jedoch liegt in Gestalt des als Klassenkalkul errich-
teten identischen Kalkuls das gedachte Flechtwerk dermalen wenigstens
schon fertig vor unsern Augen.

Nehmen wir nach dem Gesagten nun das gleichzeitige Adoptiren
von (zwei) Voraussetzungen, imgleichen wie das Statuiren von (zwei)
Behauptungen als simultan geltender, in Anspruch als eine logische
Kategorie nach Art der Urbegriffe, so konnte auch die Aussagen-
gleichheit, wie in § 29 erläutert, definirt werden und wir verfügen
nächst dem Begriffe der Aussagensubsumtion, dem Prinzip In und dem
Begriff der 0 und i als der falschen und der wahren Aussage auch
über den Begriff der Äquivalenz, nach welchem, wie gezeigt, das Prin-
zip InIn angereiht werden konnte.

Auf Grund der Erklärung des Aussagenproduktes erscheinen
jetzt auch die Formeln A B A und A B B des Theorems 6x) als
reiner Ausfluss des Prinzips In: wenn A und B zugleich gelten, so
gilt A.

Ebenso die beiden Subsumtionen:
(C A B) (C A) (C B) und (C A) (C B) (C A B)
welche sich zu unsrer frühern Def. (3nx) zusammensetzten: Wenn A B
(d. h. eben A nebst B) gilt, wann C gilt, so gilt auch A wann C gilt,
und zugleich gilt B wann C gilt, sowie umgekehrt.

Was die Aussagensumme A + B betrifft, so hat man, scheint mir,
die Wahl, ob man sie mittelst der für jede Aussage C in Anspruch
zu nehmenden beiden Subsumtionen (3n+):
(A C) (B C) (A + B C), (A + B C) (A C) (B C)

§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
Definitionen und Prinzipien (sei es unmittelbar, sei es mittelbar unter Zu-
zug von noch andern, indess schon ebenso bewiesenen Sätzen).

Wesentlich wird es darnach auf die Reihenfolge ankommen, in welcher
die Sätze untergebracht werden: je nachdem man sich für die eine oder
andere Ordnung entscheidet kann ein und derselbe Satz als Theorem oder
als Prinzip zu gelten haben. Die Reihenfolge ist naturgemäss eingeschränkt
durch die Anforderung, dass Begriffe und ihre Zeichen nicht angewendet
werden dürfen bevor sie, sei es definitionsweise, sei es als Urbegriffe, ein-
geführt worden sind.

Hierbei ist es nun aber noch fraglich, ob es möglich sein wird, auch
die ersten Grundlagen unsrer Erkenntniss im Aussagenkalkul in eine Kette
von logisch in bestimmter Weise sich auseinander entwickelnden Sätzen
aufzulösen, ob nicht vielmehr bei dem Versuche einer solchen Entwickelung
gewisse Zirkel unvermeidlich bleiben und die letzten Grundlagen sich uns
darstellen werden als ein gegebenes Flechtwerk oder Netz von miteinander
konsistenten Begriffen und Grundsätzen, bei dem man zwar von Knoten zu
Knoten die kreuz und die quere entlang zu wandern vermag, ohne jedoch
das Ganze in eine einfache Perlenschnur je auflösen zu können.

Glücklicherweise jedoch liegt in Gestalt des als Klassenkalkul errich-
teten identischen Kalkuls das gedachte Flechtwerk dermalen wenigstens
schon fertig vor unsern Augen.

Nehmen wir nach dem Gesagten nun das gleichzeitige Adoptiren
von (zwei) Voraussetzungen, imgleichen wie das Statuiren von (zwei)
Behauptungen als simultan geltender, in Anspruch als eine logische
Kategorie nach Art der Urbegriffe, so konnte auch die Aussagen-
gleichheit, wie in § 29 erläutert, definirt werden und wir verfügen
nächst dem Begriffe der Aussagensubsumtion, dem Prinzip Ī und dem
Begriff der 0 und i als der falschen und der wahren Aussage auch
über den Begriff der Äquivalenz, nach welchem, wie gezeigt, das Prin-
zip ĪĪ angereiht werden konnte.

Auf Grund der Erklärung des Aussagenproduktes erscheinen
jetzt auch die Formeln A B ⊆ A und A B ⊆ B des Theorems 6̅×) als
reiner Ausfluss des Prinzips Ī: wenn A und B zugleich gelten, so
gilt A.

Ebenso die beiden Subsumtionen:
(C ⊆ A B) ⊆ (C ⊆ A) (C ⊆ B) und (C ⊆ A) (C ⊆ B) ⊆ (C ⊆ A B)
welche sich zu unsrer frühern Def. (3̄×) zusammensetzten: Wenn A B
(d. h. eben A nebst B) gilt, wann C gilt, so gilt auch A wann C gilt,
und zugleich gilt B wann C gilt, sowie umgekehrt.

Was die Aussagensumme A + B betrifft, so hat man, scheint mir,
die Wahl, ob man sie mittelst der für jede Aussage C in Anspruch
zu nehmenden beiden Subsumtionen (3̄+):
(A ⊆ C) (B ⊆ C) ⊆ (A + B ⊆ C), (A + B ⊆ C) ⊆ (A ⊆ C) (B ⊆ C)

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 55. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/79>, abgerufen am 25.11.2024.