Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 49. Studien über die Klausel. h = n ist). In diesen Fällen kommen nur die Parameter der einenZeile von 290) in Betracht, und genügt es im ersten Falle: u1 = s1 + s2 + ... + sn, im letzteren: u = r1 + r2 + ... + rn zu nehmen um hinzubringen, dass für jedes k: sk u1, = sk, 0 resp. rk u, = rk, 0 werde. Anders verhält es sich in den übrigen Fällen wo Ungleichungen Haben r und s keinen Teil gemein, ist r s = 0, so ist es leicht, Eine Klausel kann daher nur für r s 0 in Betracht kommen. Alsdann kann es sich ereignen, dass alle oder einige der Aggre- Diese hinübergreifenden Teile der erstern Sorte oder r-Reihe sind *) Wegen t1 = r1 + s1 und rk r1 = 0, d. h. rk r, etc.
§ 49. Studien über die Klausel. h = n ist). In diesen Fällen kommen nur die Parameter der einenZeile von 290) in Betracht, und genügt es im ersten Falle: u1 = s1 + s2 + … + sn, im letzteren: u = r1 + r2 + … + rn zu nehmen um hinzubringen, dass für jedes ϰ: sϰ u1, = sϰ, ≠ 0 resp. rϰ u, = rϰ, ≠ 0 werde. Anders verhält es sich in den übrigen Fällen wo Ungleichungen Haben r und s keinen Teil gemein, ist r s = 0, so ist es leicht, Eine Klausel kann daher nur für r s ≠ 0 in Betracht kommen. Alsdann kann es sich ereignen, dass alle oder einige der Aggre- Diese hinübergreifenden Teile der erstern Sorte oder r-Reihe sind *) Wegen t1 = r1 + s1 und rϰ r1 = 0, d. h. rϰ ⊆ r, etc.
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In diesen Fällen kommen nur die Parameter der einen<lb/> Zeile von 29<hi rendition="#sup">0</hi>) in Betracht, und genügt es im ersten Falle:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sup">1</hi> + <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sup">2</hi> + … + <hi rendition="#i">s<hi rendition="#sup">n</hi></hi>,</hi><lb/> im letzteren:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">u</hi> = <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sup">1</hi> + <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sup">2</hi> + … + <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">n</hi></hi></hi><lb/> zu nehmen um hinzubringen, dass für jedes <hi rendition="#i">ϰ</hi>:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">s<hi rendition="#sup">ϰ</hi> u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, = <hi rendition="#i">s<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi>, ≠ 0 resp. <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">ϰ</hi> u</hi>, = <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi>, ≠ 0</hi><lb/> werde.</p><lb/> <p>Anders verhält es sich in den übrigen Fällen wo Ungleichungen<lb/> der einen Art, die sich auf <hi rendition="#i">u</hi> beziehen zusammentreffen mit solchen<lb/> der andern Art, die auf <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> bezüglich. 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§ 49. Studien über die Klausel.
h = n ist). In diesen Fällen kommen nur die Parameter der einen
Zeile von 290) in Betracht, und genügt es im ersten Falle:
u1 = s1 + s2 + … + sn,
im letzteren:
u = r1 + r2 + … + rn
zu nehmen um hinzubringen, dass für jedes ϰ:
sϰ u1, = sϰ, ≠ 0 resp. rϰ u, = rϰ, ≠ 0
werde.
Anders verhält es sich in den übrigen Fällen wo Ungleichungen
der einen Art, die sich auf u beziehen zusammentreffen mit solchen
der andern Art, die auf u1 bezüglich. Hier möge nun:
320) r1 + r2 + … + rh = r, sh + 1 + sh + 2 + … + sn = s
genannt werden, wobei nicht aus dem Gedächtniss zu verlieren sein
wird, dass nach 310) die sämtlichen Glieder dieser Summen r und s
von 0 verschieden sind.
Haben r und s keinen Teil gemein, ist r s = 0, so ist es leicht,
u so anzunehmen dass die Forderung 300) erfüllt wird: Man lasse u
einfach r einschliessen und s ausschliessen, sodass
(r  u) (s  u1), = (u r = r) (u1 s = s), = (u1 r = 0) ( u s = 0) = (s u + r u1 = 0)
ist. Wegen
rϰ  r also rϰ r = rϰ
ist dann auch
rϰ u = rϰ r u = rϰ r = rϰ ≠ 0, ebenso sϰ u1 = sϰ ≠ 0
für die Werte ϰ = 1, 2, … h resp. h + 1, … n dieses Index.
Eine Klausel kann daher nur für r s ≠ 0 in Betracht kommen.
Es möge für den Augenblick
r s = t
heissen, sodass t ≠ 0. Und es bedeute hiernächst immer ϰ irgend
einen der Indices 1, 2, ‥ h von r, dagegen λ einen der Indices h + 1,
h + 2, … h + k = n von s.
Alsdann kann es sich ereignen, dass alle oder einige der Aggre-
ganten rϰ von r sowie der Aggreganten sλ von s über t hinausgreifen,
sodass für gewisse ϰ, λ ist:
rϰ t1 = rϰ s1 ≠ 0, sλ t1 = sλ r1 ≠ 0. *)
Diese hinübergreifenden Teile der erstern Sorte oder r-Reihe sind
*) Wegen t1 = r1 + s1 und rϰ r1 = 0, d. h. rϰ  r, etc.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 391. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/415>, abgerufen am 18.07.2024. |