Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 49. Studien über die Klausel. 120) a1 b = a1, a1 + b = b, a + b1 = a, a b1 = b1ist, wird es immer ein solches x geben. Der allgemeinste Ausdruck für jedes solche x muss nach unserm Th. 50+) sein: x = a u + b1 u1 = a (u + b1) = b1 + a u, x1 = a1 u + b u1 = b (u1 + a) a1 + b u1 worin u als Gebiet oder Klasse vollkommen beliebig bleibt. Einsetzung dieser Werte von x und x1 verwandelt nun in S die Ungeachtet des etwas komplizirteren Ausdrucks dieser Forderung In den zwei Reihen von paarweise untereinander gestellten n und 140)p1 a, p2 a, ... pn a, können nun diese oder jene auch null sein oder verschwinden, jedochq1 b, q2 b, ... qn b niemals zwei untereinanderstehende zugleich, indem nach P für jeden unter den Werten 1, 2, ... n ausgewählten Index k sein muss: pk a + qk b 0. § 49. Studien über die Klausel. 120) a1 b = a1, a1 + b = b, a + b1 = a, a b1 = b1ist, wird es immer ein solches x geben. Der allgemeinste Ausdruck für jedes solche x muss nach unserm Th. 50+) sein: x = a u + b1 u1 = a (u + b1) = b1 + a u, x1 = a1 u + b u1 = b (u1 + a) ⊆ a1 + b u1 worin u als Gebiet oder Klasse vollkommen beliebig bleibt. Einsetzung dieser Werte von x und x1 verwandelt nun in S die Ungeachtet des etwas komplizirteren Ausdrucks dieser Forderung In den zwei Reihen von paarweise untereinander gestellten n und 140)p1 a, p2 a, … pn a, können nun diese oder jene auch null sein oder verschwinden, jedochq1 b, q2 b, … qn b niemals zwei untereinanderstehende zugleich, indem nach P für jeden unter den Werten 1, 2, … n ausgewählten Index ϰ sein muss: pϰ a + qϰ b ≠ 0. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0405" n="381"/><fw place="top" type="header">§ 49. 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§ 49. Studien über die Klausel.
120) a1 b = a1, a1 + b = b, a + b1 = a, a b1 = b1
ist, wird es immer ein solches x geben. Der allgemeinste Ausdruck
für jedes solche x muss nach unserm Th. 50+) sein:
x = a u + b1 u1 = a (u + b1) = b1 + a u, x1 = a1 u + b u1 = b (u1 + a)  a1 + b u1
worin u als Gebiet oder Klasse vollkommen beliebig bleibt.
Einsetzung dieser Werte von x und x1 verwandelt nun in S die
durch den Boole’schen Faktor ausgedrückte Forderung in eine auf
Grund von a + b = 1 identisch erfüllte. Der Boole’sche Faktor geht
dadurch in den Aussagenfaktor i über, welcher nach Th. 2̅1̅×) unter-
drückt werden darf, nicht weiter angemerkt zu werden braucht, und
da hiemit
p x + q x1 = (p a + q a1) u + (p b1 + q b) u1 = p b1 + q a1 + p a u + q b u1
wird, so erhalten wir die beiden Darstellungen von S:
S = [FORMEL] {(pϰ a + qϰ a1) u + (pϰ b1 + qϰ b) u1 ≠ 0}
130) S = [FORMEL] {pϰ b1 + qϰ a1 + pϰ a u + qϰ b u1 ≠ 0}.
Für diese bleibt nunmehr zu untersuchen, falls nur P gilt, unter
welchen ferneren Bedingungen sie durch irgend ein u erfüllbar sein
werden.
Ungeachtet des etwas komplizirteren Ausdrucks dieser Forderung
S, gegenüber ihrem früheren Ausdrucke, erscheint die Aufgabe durch
die vollzogene Umformung doch wesentlich vereinfacht, indem jetzt S
nur mehr aus Ungleichungen als Faktoren zusammengesetzt, der
Boole’sche Gleichungsfaktor weggefallen ist, und während früher x
durch diesen letzteren in seiner Veränderlichkeit beschränkt erschien,
nunmehr u innerhalb der Mannigfaltigkeit 1 ganz unumschränkt vari-
abel ist.
In den zwei Reihen von paarweise untereinander gestellten n und
n Gebieten oder Klassen:
140)p1 a, p2 a, … pn a,
q1 b, q2 b, … qn b
können nun diese oder jene auch null sein oder verschwinden, jedoch
niemals zwei untereinanderstehende zugleich, indem nach P für jeden
unter den Werten 1, 2, … n ausgewählten Index ϰ sein muss:
pϰ a + qϰ b ≠ 0.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 381. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/405>, abgerufen am 17.07.2024. |