Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

§ 47. Behebungsversuch.

vorfinden, von welchen wir mit der Anschauung^*) nicht zu unterscheiden
vermögen, ob sie zu gedachtem (Raumteil oder) Körper, oder ob sie zum
übrigen Raume gehören.

Die Gesamtheit, das System, den Inbegriff ebendieser Punkte nennen
wir die „Grenze“ des Körpers. Dieselbe scheidet die zum Körper gehörigen
Punkte von den nicht zu ihm gehörigen, und ist, weil solche Scheidung
gegenseitig, ihrem Begriffe gemäss auch zugleich als die Grenze des Aussen-
raumes (gegen den Körper) zu bezeichnen.

Wir nennen sie eine Fläche. Es sind an ihr zwei „Seiten“ zu unter-
scheiden: ein Punkt wird auf der einen oder auf der andern Seite von ihr
liegen, jenachdem er dem von ihr begrenzten Körper oder aber dem Aussen-
raume angehört (in demselben „liegt“). Wir sagen: der Raum sei aus-
gedehnt zu beiden Seiten der Fläche und schreiben (was zuerst noch eine
vague Redensart) der Fläche eine Ausdehnung (Dimension) weniger als
dem Raume zu. Der so gewonnene Flächenbegriff ist freilich noch nicht
der allgemeinste.

Auch die Fläche erweist sich wieder als ein Mannigfaltiges, an welchem
sich weitre Teile unterscheiden lassen; auch sie ist noch „ausgedehnt“.
Vergegenwärtigen wir uns einen bestimmten Teil der Fläche (schlechtweg),
so werden wir dessen inne, dass an ihm sich Punkte vorfinden, bezüglich
deren unsre Anschauung nicht zu unterscheiden vermag, ob sie zu dem
Flächenteile oder ob sie zur Aussenfläche gehören. Ihre Gesamtheit bildet
die „Grenze“ der Fläche, heisst eine Linie (Kurve); und wird der letztern
eine Ausdehnung weniger, als der (zu ihren beiden Seiten ausgedehnten)
Fläche zugeschrieben.

Wieder offenbart sich uns die Linie als ein Mannigfaltiges, das Teile
besitzt, noch ausgedehnt ist, und wenn ein bestimmter Teil der Linie in’s
Auge gefasst wird, so muss auch dieser eine „Grenze“ haben, die ihn von
der Aussenlinie scheidet. Dieser Grenze ist eine Ausdehnung weniger, als
der Linie, zuzuschreiben.

In der Thatsache nun dass letztere Grenze allemal als ein System
(im einfachsten Falle: Paar) von Punkten sich herausstellt, wo dann am
Punkte keine Teile mehr unterscheidbar sind, gibt sich erstmals die „drei-
fache Ausdehnung“ des Raumes kund.

Es wäre nun die Reihe der so gewonnenen geometrischen Gebilde,
als: Körper, Fläche, Linie und Punkt, genetisch nochmals in der umge-
kehrten Ordnung durchzugehen, vom Punkt aus nämlich durch (die erst
als eine physikalisch mögliche einzuführende) „stetige“ Bewegung zu
erzeugen.

Wird „Bahn“ eines geometrischen Gebildes das System, die Gesamt-
heit seiner successiven Lagen bei einer Bewegung genannt, so wäre zu-
nächst zu konstatiren, dass die Linie auch erzeugt werden kann als die

*) Diese Verklausulirung ist wesentlich, indem sie den Vorbehalt einschliesst,
dass es gleichwol — nach Schöpfung des Zahlenreiches, mittelst Fixirung der
Raumpunkte durch Zahlensysteme — gelingen mag, auch die zur Begrenzung
des Körpers beitragenden Punkte von ihm selbst und von dem Aussenraume zu
unterscheiden.