Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

§ 47. Postulate zur Punktdefinition.

Endlich braucht man behufs Beweises der letzten Formel φ) nur von
dem Satze τ) Gebrauch zu machen und rechts die dritte Formel φ) an-
zuwenden.

Nachdem wir aber eingangs das Individuum definirt haben, ist
die Frage zu diskutiren, ob denn das Definirte auch denknotwendig exi-
stirt, ob oder unter welchen Bedingungen der Definition ein Sinn, eine
Bedeutung zukommt? Ich halte die vorstehende für eine der aller-
schwierigsten Fragen, und weiss mir nicht anders zu helfen, als indem
ich ihre Beantwortung im bejahenden Sinne axiomatisch fordere, die-
selbe (vorerst) als ein Postulat hinstelle. Und zwar genügt es an-
scheinend nicht, etwa blos die Anerkennung zu verlangen:

Postulat ((4)) dass in jeder Klasse a, die nicht 0 ist, Individuen
(genauer: mindestens ein Individuum als ihr eingeordnete Unterklasse)
enthalten sein müssen, m. a. W. dass wir immer ein solches anzugeben
vermögen.

Wird freilich ein solches i¹ als unter a enthalten zugegeben, so-
dass i¹ ⊆ a, so können wir die Ergänzung dieses einen Individuums
zur Klasse a als eine neue Klasse a i₁¹ in’s Auge fassen, und für die-
selbe das nämliche Postulat abermals in Anspruch nehmen. Auch sie
muss, wenn sie nicht 0 ist, wieder mindestens ein Individuum i² ent-
halten, sodass i² ⊆ a i₁¹.

Dieses muss von i¹ notwendig verschieden sein, denn wenn es
damit zusammenfiele, so gelangten wir zu dem Widerspruch mit der
Def. (α), dass i¹ den beiden einander ausschliessenden Klassen x = i¹
und y = a i₁¹ gleichzeitig eingeordnet wäre [m. a. W. dass innerhalb
der Mannigfaltigkeit a — die mit 1 bezeichnet werden könnte — dann
i¹ eingeordnet sein müsste den beiden einander negirenden Klassen
x = a i¹ und x₁ = a i₁¹, im Widerspruch zu β)]. Auf diese Weise er-
gäbe sich also die Nötigung, i² so, wie wir es gethan, verschieden
von i¹ zu bezeichnen.

Auf die Ergänzung a i₁¹ i₁² von i² zur Klasse a i₁¹ lässt sich das-
selbe Postulat dann wiederum anwenden: sie muss, sofern sie nicht 0
ist, abermals ein Individuum i³ enthalten, sodass i³ ⊆ a i₁¹ i₁² ist, und
zwar ein Individuum, welches von den bisherigen i¹ und i² verschieden.

In dieser Weise fortschliessend kämen wir zu der Darstellung:
a = i¹ + a i₁¹ = i¹ + i² + a i₁¹ i₁² = i¹ + i² + i³ + a i₁¹ i₁² i₁³ = … =
a = i¹ + i² + i³ + … + i^r + a i₁¹ i₁² i₁³ … i₁^r,
oder:
χ) a = [Formel 1] i^ϰ + a [Formel 2] i₁^ϰ,

Schröder, Algebra der Logik. II. 22