Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

§ 47. Zurückführung von Punktdefinitionen aufeinander.
(b) (i 0) [Formel 1] {(i x 0) (i x1 0) = 0}, = i
und diese möchte ich als die maassgebende Definition hier zu
Grunde legen.

In Worten könnte man etwa sagen: Ein Gebiet i ist immer dann
und nur dann ein "Punkt" zu nennen, wenn es ohne doch zu ver-
schwinden oder ein leeres zu sein, nie zugleich mit einem Gebiete und
dessen Negation Teile gemein haben kann.

Das "Nullgebiet" hat diese letztere Eigenschaft auch: was auch x für
ein Gebiet vorstellen möge, wird es mit x und x1 nie gleichzeitig teil-
gemein sein, indem es als ein "nichts" enthaltendes ohnehin mit keinem
Gebiete "etwas" gemein haben kann. Hieraus erhellt, dass der Aussagen-
faktor (i 0) in der Def. (b) nicht fortgelassen werden darf ansonst sie
uns nicht i, sondern "0 oder i" definiren würde. Bei Unterdrückung dieses
ersten Faktors würde (b) ausdrücken: die Definition des Begriffes "entweder
ein Individuum oder gar Nichts".

Zunächst sieht man leicht, dass diese Definition (b) aus der (a)
notwendig mit folgt, oder dass:
(a) (b).

Man braucht sich in der That in (a) nur zu jedem x das zugehörige
y gleich x1 vorzustellen, so geht die Prämisse, Bedingung unter dem Pro-
duktzeichen über in (x x1 = 0) = i, und da nach Th. 5n+) die Einordnung
von i unter eine Aussage) Gleichheit ist, nach § 32, e) aber (i = A) = A
gesetzt werden kann, so erhalten wir -- unter A den Ausdruck in der
geschweiften Klammer {} von (a) somit nun auch von (b) verstehend --
die durch (b) dargestellte Vereinfachung der linken Seite von (a).

Die linke Seite von (b) hebt aber nur gewisse Faktoren aus derjenigen
von (a) hervor und lässt die Faktoren beiseite, bei welchen y von x1 ver-
schieden genommen wird. Nach Th. 6nx) ist das Produkt in seinem Faktor
enthalten, die linke Seite von (a) somit der von (b), und da die erstere
gleich i ist, so muss nach Th. 5n+) auch die letztere es sein, q. e. d.

Damit die Äquivalenz der Definitionen (a) und (b) erwiesen sei,
ist aber jetzt noch zu zeigen, dass auch umgekehrt:
(b) (a),
d. h. dass wenn (b) für ein gewisses i erfüllt ist, für eben dieses auch
(a) stets erfüllt sein muss.

Dieser Nachweis kann so geliefert werden. Gilt (b), so muss nach
Th. 24x) auch jeder Faktor des Produktes linkerhand = i sein, gelten.
Wir haben also:
b) (i x 0) (i x1 0) = 0
für irgend ein x. In dieser allgemeinen Formel mögen wir auch x y1 für
x somit x1 + y für x1 setzen; sonach gilt für beliebige x, y:
(i x y1 0) (i x1 + i y 0) = 0.

Schröder, Algebra der Logik. II. 21

§ 47. Zurückführung von Punktdefinitionen aufeinander.
(β) (i ≠ 0) [Formel 1] {(i x ≠ 0) (i x1 ≠ 0) = 0}, = i
und diese möchte ich als die maassgebende Definition hier zu
Grunde legen.

In Worten könnte man etwa sagen: Ein Gebiet i ist immer dann
und nur dann ein „Punkt“ zu nennen, wenn es ohne doch zu ver-
schwinden oder ein leeres zu sein, nie zugleich mit einem Gebiete und
dessen Negation Teile gemein haben kann.

Das „Nullgebiet“ hat diese letztere Eigenschaft auch: was auch x für
ein Gebiet vorstellen möge, wird es mit x und x1 nie gleichzeitig teil-
gemein sein, indem es als ein „nichts“ enthaltendes ohnehin mit keinem
Gebiete „etwas“ gemein haben kann. Hieraus erhellt, dass der Aussagen-
faktor (i ≠ 0) in der Def. (β) nicht fortgelassen werden darf ansonst sie
uns nicht i, sondern „0 oder i“ definiren würde. Bei Unterdrückung dieses
ersten Faktors würde (β) ausdrücken: die Definition des Begriffes „entweder
ein Individuum oder gar Nichts“.

Zunächst sieht man leicht, dass diese Definition (β) aus der (α)
notwendig mit folgt, oder dass:
(α) ⊆ (β).

Man braucht sich in der That in (α) nur zu jedem x das zugehörige
y gleich x1 vorzustellen, so geht die Prämisse, Bedingung unter dem Pro-
duktzeichen über in (x x1 = 0) = i, und da nach Th. 5̄+) die Einordnung
von i unter eine Aussage) Gleichheit ist, nach § 32, ε) aber (i = A) = A
gesetzt werden kann, so erhalten wir — unter A den Ausdruck in der
geschweiften Klammer {} von (α) somit nun auch von (β) verstehend —
die durch (β) dargestellte Vereinfachung der linken Seite von (α).

Die linke Seite von (β) hebt aber nur gewisse Faktoren aus derjenigen
von (α) hervor und lässt die Faktoren beiseite, bei welchen y von x1 ver-
schieden genommen wird. Nach Th. 6̄×) ist das Produkt in seinem Faktor
enthalten, die linke Seite von (α) somit ⊆ der von (β), und da die erstere
gleich i ist, so muss nach Th. 5̄+) auch die letztere es sein, q. e. d.

Damit die Äquivalenz der Definitionen (α) und (β) erwiesen sei,
ist aber jetzt noch zu zeigen, dass auch umgekehrt:
(β) ⊆ (α),
d. h. dass wenn (β) für ein gewisses i erfüllt ist, für eben dieses auch
(α) stets erfüllt sein muss.

Dieser Nachweis kann so geliefert werden. Gilt (β), so muss nach
Th. 2̅4̅×) auch jeder Faktor des Produktes linkerhand = i sein, gelten.
Wir haben also:
β) (i x ≠ 0) (i x1 ≠ 0) = 0
für irgend ein x. In dieser allgemeinen Formel mögen wir auch x y1 für
x somit x1 + y für x1 setzen; sonach gilt für beliebige x, y:
(i x y1 ≠ 0) (i x1 + i y ≠ 0) = 0.

Schröder, Algebra der Logik. II. 21
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0345" n="321"/><fw place="top" type="header">§ 47. Zurückführung von Punktdefinitionen aufeinander.</fw><lb/>
(<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">i</hi> &#x2260; 0) <formula/> {(<hi rendition="#i">i x</hi> &#x2260; 0) (<hi rendition="#i">i x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2260; 0) = 0}, = i</hi><lb/>
und diese möchte ich als die maassgebende Definition <hi rendition="#i">hier zu<lb/>
Grunde legen</hi>.</p><lb/>
            <p>In Worten könnte man etwa sagen: Ein Gebiet <hi rendition="#i">i</hi> ist immer dann<lb/>
und nur dann ein &#x201E;Punkt&#x201C; zu nennen, wenn es ohne doch zu ver-<lb/>
schwinden oder ein leeres zu sein, nie zugleich mit einem Gebiete und<lb/>
dessen Negation Teile gemein haben kann.</p><lb/>
            <p>Das &#x201E;Nullgebiet&#x201C; hat diese letztere Eigenschaft auch: was auch <hi rendition="#i">x</hi> für<lb/>
ein Gebiet vorstellen möge, wird es mit <hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> nie gleichzeitig teil-<lb/>
gemein sein, indem es als ein &#x201E;nichts&#x201C; enthaltendes ohnehin mit keinem<lb/>
Gebiete &#x201E;etwas&#x201C; gemein haben kann. Hieraus erhellt, dass der Aussagen-<lb/>
faktor (<hi rendition="#i">i</hi> &#x2260; 0) in der Def. (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) nicht fortgelassen werden darf ansonst sie<lb/>
uns nicht <hi rendition="#i">i</hi>, sondern &#x201E;0 oder <hi rendition="#i">i</hi>&#x201C; definiren würde. Bei Unterdrückung dieses<lb/>
ersten Faktors würde (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) ausdrücken: die Definition des Begriffes <hi rendition="#i">&#x201E;entweder<lb/>
ein Individuum oder gar Nichts&#x201C;</hi>.</p><lb/>
            <p>Zunächst sieht man leicht, dass diese Definition (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) aus der (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>)<lb/>
notwendig mit folgt, oder dass:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>).</hi></p><lb/>
            <p>Man braucht sich in der That in (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) nur zu jedem <hi rendition="#i">x</hi> das zugehörige<lb/><hi rendition="#i">y</hi> gleich <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> vorzustellen, so geht die Prämisse, Bedingung unter dem Pro-<lb/>
duktzeichen über in (<hi rendition="#i">x x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0) = i, und da nach Th. 5&#x0304;<hi rendition="#sub">+</hi>) die Einordnung<lb/>
von i unter eine Aussage) Gleichheit ist, nach § 32, <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi>) aber (i = <hi rendition="#i">A</hi>) = <hi rendition="#i">A</hi><lb/>
gesetzt werden kann, so erhalten wir &#x2014; unter <hi rendition="#i">A</hi> den Ausdruck in der<lb/>
geschweiften Klammer {} von (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) somit nun auch von (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) verstehend &#x2014;<lb/>
die durch (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) dargestellte Vereinfachung der linken Seite von (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>).</p><lb/>
            <p>Die linke Seite von (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) hebt aber nur gewisse Faktoren aus derjenigen<lb/>
von (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) hervor und lässt die Faktoren beiseite, bei welchen <hi rendition="#i">y</hi> von <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ver-<lb/>
schieden genommen wird. Nach Th. 6&#x0304;<hi rendition="#sub">×</hi>) ist das Produkt in seinem Faktor<lb/>
enthalten, die linke Seite von (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) somit <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> der von (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>), und da die erstere<lb/>
gleich i ist, so muss nach Th. 5&#x0304;<hi rendition="#sub">+</hi>) auch die letztere es sein, q. e. d.</p><lb/>
            <p>Damit die Äquivalenz der Definitionen (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) und (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) erwiesen sei,<lb/>
ist aber jetzt noch zu zeigen, dass auch umgekehrt:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>),</hi><lb/>
d. h. dass wenn (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) für ein gewisses <hi rendition="#i">i</hi> erfüllt ist, für eben dieses auch<lb/>
(<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) stets erfüllt sein muss.</p><lb/>
            <p>Dieser Nachweis kann so geliefert werden. Gilt (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>), so muss nach<lb/>
Th. 2&#x0305;4&#x0305;<hi rendition="#sub">×</hi>) auch jeder Faktor des Produktes linkerhand = i sein, gelten.<lb/>
Wir haben also:<lb/><hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">i x</hi> &#x2260; 0) (<hi rendition="#i">i x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2260; 0) = 0</hi><lb/>
für irgend ein <hi rendition="#i">x</hi>. In dieser allgemeinen Formel mögen wir auch <hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> für<lb/><hi rendition="#i">x</hi> somit <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> für <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> setzen; sonach gilt für beliebige <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">i x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2260; 0) (<hi rendition="#i">i x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">i y</hi> &#x2260; 0) = 0.</hi></p><lb/>
            <fw place="bottom" type="sig"><hi rendition="#k">Schröder</hi>, Algebra der Logik. II. 21</fw><lb/>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[321/0345] § 47. Zurückführung von Punktdefinitionen aufeinander. (β) (i ≠ 0) [FORMEL] {(i x ≠ 0) (i x1 ≠ 0) = 0}, = i und diese möchte ich als die maassgebende Definition hier zu Grunde legen. In Worten könnte man etwa sagen: Ein Gebiet i ist immer dann und nur dann ein „Punkt“ zu nennen, wenn es ohne doch zu ver- schwinden oder ein leeres zu sein, nie zugleich mit einem Gebiete und dessen Negation Teile gemein haben kann. Das „Nullgebiet“ hat diese letztere Eigenschaft auch: was auch x für ein Gebiet vorstellen möge, wird es mit x und x1 nie gleichzeitig teil- gemein sein, indem es als ein „nichts“ enthaltendes ohnehin mit keinem Gebiete „etwas“ gemein haben kann. Hieraus erhellt, dass der Aussagen- faktor (i ≠ 0) in der Def. (β) nicht fortgelassen werden darf ansonst sie uns nicht i, sondern „0 oder i“ definiren würde. Bei Unterdrückung dieses ersten Faktors würde (β) ausdrücken: die Definition des Begriffes „entweder ein Individuum oder gar Nichts“. Zunächst sieht man leicht, dass diese Definition (β) aus der (α) notwendig mit folgt, oder dass: (α)  (β). Man braucht sich in der That in (α) nur zu jedem x das zugehörige y gleich x1 vorzustellen, so geht die Prämisse, Bedingung unter dem Pro- duktzeichen über in (x x1 = 0) = i, und da nach Th. 5̄+) die Einordnung von i unter eine Aussage) Gleichheit ist, nach § 32, ε) aber (i = A) = A gesetzt werden kann, so erhalten wir — unter A den Ausdruck in der geschweiften Klammer {} von (α) somit nun auch von (β) verstehend — die durch (β) dargestellte Vereinfachung der linken Seite von (α). Die linke Seite von (β) hebt aber nur gewisse Faktoren aus derjenigen von (α) hervor und lässt die Faktoren beiseite, bei welchen y von x1 ver- schieden genommen wird. Nach Th. 6̄×) ist das Produkt in seinem Faktor enthalten, die linke Seite von (α) somit  der von (β), und da die erstere gleich i ist, so muss nach Th. 5̄+) auch die letztere es sein, q. e. d. Damit die Äquivalenz der Definitionen (α) und (β) erwiesen sei, ist aber jetzt noch zu zeigen, dass auch umgekehrt: (β)  (α), d. h. dass wenn (β) für ein gewisses i erfüllt ist, für eben dieses auch (α) stets erfüllt sein muss. Dieser Nachweis kann so geliefert werden. Gilt (β), so muss nach Th. 2̅4̅×) auch jeder Faktor des Produktes linkerhand = i sein, gelten. Wir haben also: β) (i x ≠ 0) (i x1 ≠ 0) = 0 für irgend ein x. In dieser allgemeinen Formel mögen wir auch x y1 für x somit x1 + y für x1 setzen; sonach gilt für beliebige x, y: (i x y1 ≠ 0) (i x1 + i y ≠ 0) = 0. Schröder, Algebra der Logik. II. 21

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/345
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 321. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/345>, abgerufen am 23.11.2024.