Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Einundzwanzigste Vorlesung.

für die mittlere Aussage bezüglich auch eintreten dürfte. Eine Aqui-
valenz etwa zwischen dieser und der ersten Aussage findet jedoch hier
nicht statt.

15_×)' (a ⊂ b) ⊆ (a c ⊆ b c)	15_+)' (a ⊂ b) ⊆ (a + c ⊆ b + c)
17_×)' (a ⊂ b) (α ⊆ β) ⊆ (a α ⊆ b β)	17_+)' (a ⊂ b) (α ⊆ β) ⊆ (a + α ⊆ b + β)
17_×)'' (a ⊂ b) (α ⊂ β) ⊆ (a α ⊆ b β)	17_+)'' (a ⊂ b) (α ⊂ β) ⊆ (a + α ⊆ b + β)
18_×)' (a ⊂ b) (α = β) ⊆ (a α ⊆ b β)	18_+)' (a ⊂ b) (α = β) ⊆ (a + α ⊆ b + β)

in welchen acht Sätzen rechts keineswegs ⊂ für ⊆ geschrieben
werden dürfte!

37)' (a ⊂ b) = (b₁ ⊂ a₁);

auch für die Unterordnung ist also die kontraposition rein zulässig.

38)'

(a b₁ = 0) (a₁b ≠ 0)
(a₁ + b = 1) (a₁b ≠ 0)
= (a ⊂ b) = (a₁ + b = 1) (a + b₁ ≠ 1)
(ab₁ = 0) (a + b₁ ≠ 1)

40)' (a c ⊆ b c) (a + c ⊂ b + c), desgleichen (a c ⊂ b c) (a + c ⊆ b + c),
desgl. (a c ⊂ b c) (a + c ⊂ b + c) ⊆ (a ⊂ b);
dagegen findet zwischen den modifizirten Aussagen des Peirce’schen
Zusatzes 2) zu Th. 40):
(a c ⊆ b) (a ⊂ b + c), (a c ⊂ b) (a ⊆ b + c), (a c ⊂ b) (a ⊂ b + c)
mit (a ⊂ b) keine Einordnung oder Folgebeziehung statt, und ebenso-
wenig eine zwischen denen
(a b ⊂ c), (a ⊂ b₁ + c), (b ⊂ a₁ + c)
(a ⊂ b + c), (a b₁ ⊂ c), (a c₁ ⊂ b)
seines Theorems 41), welche als Subsumtionen — d. h. noch nicht zu
Unterordnungen modifizirt — in jeder Zeile einander äquivalent ge-
wesen. —

Für sich steht noch der Satz da:
(a ⊂ a₁) = (a = 0), (a₁ ⊂ a) = (a = 1),
0 ⊂ 1.

Vorstehendes ist die ganze Ausbeute.

Zu rechtfertigen sind die Sätze leicht im Hinblick auf die erste
Gleichung 38)'
(a ⊂ b) = (a b₁ = 0) (a₁ b ≠ 0)
und zum Teil auch schon auf Grund von (1)", und mag ihren Beweis
zu liefern dem Leser zur Übung überlassen sein.