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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.

20. Studie. Wenden wir uns zum Schlusse von der Betrachtung
der Methoden in der Algebra der Logik nochmals zu derjenigen der
daselbst geltenden Sätze oder Theoreme überhaupt, so ist die Zahl der
letzteren und ihrer Ausdrucksformen bei der Mannigfaltigkeit zur Ver-
fügung stehender Beziehungszeichen natürlich Legion.

Blos mit dem Subsumtions- und Gleichheitszeichen und ohne Ein-
führung (Introduktion) neuer Terme kann doch eine Subsumtion schon
in den folgenden einander äquivalenten Formen angesetzt werden, die
wir zunächst aus § 19, Th. 43) Anmerkung 2 und § 18, Aufg. a1)
rekapitulirend in der Sprache des Aussagenkalkuls zusammenstellen,
denselben noch einige weitere hinzufügend:
(a b) = (b1 a1) =
= (a b1 0) = (1 a1 + b) = (a a b) = (a + b b) = (a1 + b1 a1) = (b1 a1 b1) =
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= (a b1 a b + a1 b1) = (a b1 + a1 b a1 + b) = etc.
worin auch a mit b, oder b mit b1, oder beides, vertauscht werden mag.

Hiezu beachte man, dass die Rückwärtsansetzung gewisser einfacheren
von diesen Subsumtionen auf die Äquivalenzen führt:
(b a b1) = (a1 + b b1) = (b = 0) = (b1 = 1),
(a1 a b1) = (a1 + b a) = (a1 = 0) = (a = 1)
während ebendiese als Gleichungen angesetzt liefern:
(a b1 = b) = (a1 + b = b1) = (a + b = 0) = (a = b = 0),
(a1 = a b1) = (a1 + b = a) = (a b = 1) = (a = b = 1).

Hier mögen auch die von Rob. Grassmann 1 gegebenen Theoreme
noch Erwähnung finden (S. 171 im Kontext schon implicite vorgekommen):

(a b) (a b1) = (a = 0)(b = a) (b1 a1) = (a = 1),
welche leicht aus Def. (3) und Th. 30) nebst Th. 5) beweisbar.

Und ebenso haben wir -- vergl. auch § 18, r) -- für eine Glei-
chung schon die Formen:
(a = b) = (a1 = b1) =
= (a b1 + a1 b 0) = (1 a b + a1 b1) = (a + b a b) = (a1 + b1 a1 b1) =
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= etc.

Einundzwanzigste Vorlesung.

20. Studie. Wenden wir uns zum Schlusse von der Betrachtung
der Methoden in der Algebra der Logik nochmals zu derjenigen der
daselbst geltenden Sätze oder Theoreme überhaupt, so ist die Zahl der
letzteren und ihrer Ausdrucksformen bei der Mannigfaltigkeit zur Ver-
fügung stehender Beziehungszeichen natürlich Legion.

Blos mit dem Subsumtions- und Gleichheitszeichen und ohne Ein-
führung (Introduktion) neuer Terme kann doch eine Subsumtion schon
in den folgenden einander äquivalenten Formen angesetzt werden, die
wir zunächst aus § 19, Th. 43) Anmerkung 2 und § 18, Aufg. α1)
rekapitulirend in der Sprache des Aussagenkalkuls zusammenstellen,
denselben noch einige weitere hinzufügend:
(a ⊆ b) = (b1 ⊆ a1) =
= (a b1 ⊆ 0) = (1 ⊆ a1 + b) = (a ⊆ a b) = (a + b ⊆ b) = (a1 + b1 ⊆ a1) = (b1 ⊆ a1 b1) =
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worin auch a mit b, oder b mit b1, oder beides, vertauscht werden mag.

Hiezu beachte man, dass die Rückwärtsansetzung gewisser einfacheren
von diesen Subsumtionen auf die Äquivalenzen führt:
(b ⊆ a b1) = (a1 + b ⊆ b1) = (b = 0) = (b1 = 1),
(a1 ⊆ a b1) = (a1 + b ⊆ a) = (a1 = 0) = (a = 1)
während ebendiese als Gleichungen angesetzt liefern:
(a b1 = b) = (a1 + b = b1) = (a + b = 0) = (a = b = 0),
(a1 = a b1) = (a1 + b = a) = (a b = 1) = (a = b = 1).

Hier mögen auch die von Rob. Grassmann 1 gegebenen Theoreme
noch Erwähnung finden (S. 171 im Kontext schon implicite vorgekommen):

(a ⊆ b) (a ⊆ b1) = (a = 0)(b = a) (b1 ⊆ a1) = (a = 1),
welche leicht aus Def. (3) und Th. 30) nebst Th. 5) beweisbar.

Und ebenso haben wir — vergl. auch § 18, ϱ) — für eine Glei-
chung schon die Formen:
(a = b) = (a1 = b1) =
= (a b1 + a1 b ⊆ 0) = (1 ⊆ a b + a1 b1) = (a + b ⊆ a b) = (a1 + b1 ⊆ a1 b1) =
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[314/0338] Einundzwanzigste Vorlesung. 20. Studie. Wenden wir uns zum Schlusse von der Betrachtung der Methoden in der Algebra der Logik nochmals zu derjenigen der daselbst geltenden Sätze oder Theoreme überhaupt, so ist die Zahl der letzteren und ihrer Ausdrucksformen bei der Mannigfaltigkeit zur Ver- fügung stehender Beziehungszeichen natürlich Legion. Blos mit dem Subsumtions- und Gleichheitszeichen und ohne Ein- führung (Introduktion) neuer Terme kann doch eine Subsumtion schon in den folgenden einander äquivalenten Formen angesetzt werden, die wir zunächst aus § 19, Th. 43) Anmerkung 2 und § 18, Aufg. α1) rekapitulirend in der Sprache des Aussagenkalkuls zusammenstellen, denselben noch einige weitere hinzufügend: (a  b) = (b1  a1) = = (a b1  0) = (1  a1 + b) = (a  a b) = (a + b  b) = (a1 + b1  a1) = (b1  a1 b1) = = (a b1 = 0) = (a1 + b = 1) = (a b = a) = (a + b = b) = (a1 + b1 = a1) = (a1 b1 = b1) = = (a b1  b) = (a  a1 + b) = (b1  a1 + b) = (a b1  a1) = = (a b1  a1 b) = (a b1  a1 + b) = (a + b1  a1 + b) = = (a b1  a b + a1 b1) = (a b1 + a1 b  a1 + b) = etc. worin auch a mit b, oder b mit b1, oder beides, vertauscht werden mag. Hiezu beachte man, dass die Rückwärtsansetzung gewisser einfacheren von diesen Subsumtionen auf die Äquivalenzen führt: (b  a b1) = (a1 + b  b1) = (b = 0) = (b1 = 1), (a1  a b1) = (a1 + b  a) = (a1 = 0) = (a = 1) während ebendiese als Gleichungen angesetzt liefern: (a b1 = b) = (a1 + b = b1) = (a + b = 0) = (a = b = 0), (a1 = a b1) = (a1 + b = a) = (a b = 1) = (a = b = 1). Hier mögen auch die von Rob. Grassmann 1 gegebenen Theoreme noch Erwähnung finden (S. 171 im Kontext schon implicite vorgekommen): (a  b) (a  b1) = (a = 0) (b = a) (b1  a1) = (a = 1), welche leicht aus Def. (3) und Th. 30) nebst Th. 5) beweisbar. Und ebenso haben wir — vergl. auch § 18, ϱ) — für eine Glei- chung schon die Formen: (a = b) = (a1 = b1) = = (a b1 + a1 b  0) = (1  a b + a1 b1) = (a + b  a b) = (a1 + b1  a1 b1) = = (a1 b + a1 b = 0) = (a b + a1 b1 = 1) = (a + b = a b) = (a1 + b1 = a1 + b1) = = (a b1 + a1 b  a b) = (a + b  a b + a1 b1) = (a1 + b1  a b + a1 b1) = (a b1 + a1 b  a1 b1) = etc.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 314. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/338>, abgerufen am 23.11.2024.