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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Wichtige Studie.
problemes ist auch auf Systeme von Boole'schen Prämissen ausdehnbar,
resp. noch anwendbar:

Nach Mitchell's in § 40 aufgestellter Form der allgemeinsten Gesamt-
aussage muss eine solche beim Wegfall aller partikularen oder Ungleichungs-
Faktoren von der Gestalt sein -- vergl. § 41, a):
S (a x + b x1 = 1) und dies ist S (a + b = 1)
welch letztere Aussage die Resultante der Elimination des x aus jener
vorstellt.

Um McColl's Regel zu proben, haben wir uns die Prämissenaussage
als eine Subsumtion: ph (x) ps (x) angesetzt zu denken. Und da sie nach
Th. 5n+) als: i S (a x + b x1 = 1) ansetzbar ist, dürfen wir also unter
ph (x) die i, unter ps (x) die Aussage rechterhand S (a x + b x1 = 1) uns
vorstellen, müssen ebendamit die Symbole ph (x) und ps (x) hier identifiziren.

Da hienach
ph (0) = i, ph (1) = i, ph1 (0) = 0, ph1 (1) = 0
sein wird, reduzirt sich McColl's in § 27 gegebene Resultante zu:
ps1 (0) ps1 (1) = 0 oder ps (0) + ps (1) = i.

Nun ist:
ps (0) = S (b = 1), ps (1) = S (a = 1),
und wird mithin die nach McColl's Regel gebildete Resultante die Gültig-
keit der Aussagen behaupten:
S (a = 1) + S (b = 1);
und dies stimmt mit dem Obigen, in Anbetracht, dass im Aussagenkalkul
nach § 45, a+) oder b+) eben sein wird:
(a + b = 1) = (a = 1) + (b = 1)
wie denn vorstehend die 1 ohne Tupfen als einerlei mit i zu gelten hatte.

Identifizirte man dagegen ps (x) mit der allgemeineren Mitchell'schen
Gesamtaussage:
S (a x + b x1 = 1) (p x + q x1 0) (r x + s x1 0) ...,
wonach wir hätten:
ps (1) = S (a = 1) (p 0) (r 0) .., ps (0) = S (b = 1) (q 0) (s 0) ..
so ergäbe sich als Resultante der Elimination von x aus i ps (x) eine
Aussage:
i ps (1) + ps (0),
welche verglichen mit unsrer richtigen Resultante rechts in ph) des § 41:
i S (a + b = 1) (p a + q b 0) (r a + s b 0) ...
viel zu viel behauptet, deren Geltung zwar durch diese als eine möglicher-
weise zutreffende nicht ausgeschlossen ist, welche jedoch keineswegs zu gelten
braucht. --

§ 46. Wichtige Studie.
problemes ist auch auf Systeme von Boole’schen Prämissen ausdehnbar,
resp. noch anwendbar:

Nach Mitchell’s in § 40 aufgestellter Form der allgemeinsten Gesamt-
aussage muss eine solche beim Wegfall aller partikularen oder Ungleichungs-
Faktoren von der Gestalt sein — vergl. § 41, α):
Σ (a x + b x1 = 1) und dies ist ⊆ Σ (a + b = 1)
welch letztere Aussage die Resultante der Elimination des x aus jener
vorstellt.

Um McColl’s Regel zu proben, haben wir uns die Prämissenaussage
als eine Subsumtion: φ (x) ⊆ ψ (x) angesetzt zu denken. Und da sie nach
Th. 5̄+) als: i ⊆ Σ (a x + b x1 = 1) ansetzbar ist, dürfen wir also unter
φ (x) die i, unter ψ (x) die Aussage rechterhand Σ (a x + b x1 = 1) uns
vorstellen, müssen ebendamit die Symbole φ (x) und ψ (x) hier identifiziren.

Da hienach
φ (0) = i, φ (1) = i, φ1 (0) = 0, φ1 (1) = 0
sein wird, reduzirt sich McColl’s in § 27 gegebene Resultante zu:
ψ1 (0) ψ1 (1) = 0 oder ψ (0) + ψ (1) = i.

Nun ist:
ψ (0) = Σ (b = 1), ψ (1) = Σ (a = 1),
und wird mithin die nach McColl’s Regel gebildete Resultante die Gültig-
keit der Aussagen behaupten:
Σ (a = 1) + Σ (b = 1);
und dies stimmt mit dem Obigen, in Anbetracht, dass im Aussagenkalkul
nach § 45, α+) oder β+) eben sein wird:
(a + b = 1) = (a = 1) + (b = 1)
wie denn vorstehend die 1 ohne Tupfen als einerlei mit i zu gelten hatte.

Identifizirte man dagegen ψ (x) mit der allgemeineren Mitchell’schen
Gesamtaussage:
Σ (a x + b x1 = 1) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) …,
wonach wir hätten:
ψ (1) = Σ (a = 1) (p ≠ 0) (r ≠ 0) ‥, ψ (0) = Σ (b = 1) (q ≠ 0) (s ≠ 0) ‥
so ergäbe sich als Resultante der Elimination von x aus i ⊆ ψ (x) eine
Aussage:
i ⊆ ψ (1) + ψ (0),
welche verglichen mit unsrer richtigen Resultante rechts in φ) des § 41:
i ⊆ Σ (a + b = 1) (p a + q b ≠ 0) (r a + s b ≠ 0) …
viel zu viel behauptet, deren Geltung zwar durch diese als eine möglicher-
weise zutreffende nicht ausgeschlossen ist, welche jedoch keineswegs zu gelten
braucht. —

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[313/0337] § 46. Wichtige Studie. problemes ist auch auf Systeme von Boole’schen Prämissen ausdehnbar, resp. noch anwendbar: Nach Mitchell’s in § 40 aufgestellter Form der allgemeinsten Gesamt- aussage muss eine solche beim Wegfall aller partikularen oder Ungleichungs- Faktoren von der Gestalt sein — vergl. § 41, α): Σ (a x + b x1 = 1) und dies ist  Σ (a + b = 1) welch letztere Aussage die Resultante der Elimination des x aus jener vorstellt. Um McColl’s Regel zu proben, haben wir uns die Prämissenaussage als eine Subsumtion: φ (x)  ψ (x) angesetzt zu denken. Und da sie nach Th. 5̄+) als: i  Σ (a x + b x1 = 1) ansetzbar ist, dürfen wir also unter φ (x) die i, unter ψ (x) die Aussage rechterhand Σ (a x + b x1 = 1) uns vorstellen, müssen ebendamit die Symbole φ (x) und ψ (x) hier identifiziren. Da hienach φ (0) = i, φ (1) = i, φ1 (0) = 0, φ1 (1) = 0 sein wird, reduzirt sich McColl’s in § 27 gegebene Resultante zu: ψ1 (0) ψ1 (1) = 0 oder ψ (0) + ψ (1) = i. Nun ist: ψ (0) = Σ (b = 1), ψ (1) = Σ (a = 1), und wird mithin die nach McColl’s Regel gebildete Resultante die Gültig- keit der Aussagen behaupten: Σ (a = 1) + Σ (b = 1); und dies stimmt mit dem Obigen, in Anbetracht, dass im Aussagenkalkul nach § 45, α+) oder β+) eben sein wird: (a + b = 1) = (a = 1) + (b = 1) wie denn vorstehend die 1 ohne Tupfen als einerlei mit i zu gelten hatte. Identifizirte man dagegen ψ (x) mit der allgemeineren Mitchell’schen Gesamtaussage: Σ (a x + b x1 = 1) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) …, wonach wir hätten: ψ (1) = Σ (a = 1) (p ≠ 0) (r ≠ 0) ‥, ψ (0) = Σ (b = 1) (q ≠ 0) (s ≠ 0) ‥ so ergäbe sich als Resultante der Elimination von x aus i  ψ (x) eine Aussage: i  ψ (1) + ψ (0), welche verglichen mit unsrer richtigen Resultante rechts in φ) des § 41: i  Σ (a + b = 1) (p a + q b ≠ 0) (r a + s b ≠ 0) … viel zu viel behauptet, deren Geltung zwar durch diese als eine möglicher- weise zutreffende nicht ausgeschlossen ist, welche jedoch keineswegs zu gelten braucht. —

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 313. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/337>, abgerufen am 27.11.2024.