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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Studie. Hülfssatz zum Hauber'schen Satze.

Generalisiren lässt der Satz sich auf verschiedene Weise. Man könnte
ihn samt dem erwähnten Beweisverfahren sogleich auf beliebig viele Symbol-
paare ausdehnen in der Gestalt:
b) (x a) (y b) (z c) ... (a b c ... = 0) (x y z ... = 0).
In der That folgt aus den vorausgesetzten Subsumtionen durch über-
schiebendes Multipliziren nach Th. 17x), dass x y z ... a b c ... sein muss,
wo nun aber die rechte Seite laut der vorausgesetzten Gleichung durch O
ersetzt werden darf nach Th. 2) und schliesslich nur zu beachten bleibt,
dass Einordnung unter die Null Gleichheit bedeutet nach Th. 5x), sonach
x y z ... = 0 sein muss, q. e. d.

Dies wäre nun aber ein anderer als der obige Satz. Für dreie oder
mehr Symbolpaare wird jener vielmehr lauten:

Wenn a, b, c, ... unter sich disjunkt sind und x in a, y in b, z
in c, ... ganz enthalten, so müssen auch x, y, z, ... unter sich dis-
junkt sein.

Oder in Formeln:
g) (x a) (y b) (z c) ... (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) ...
... (x y = 0) (x z = 0) (y z = 0) ...

Um dies auf die nächstliegende und einfachste Art zu beweisen
braucht man sich nur den Satz a) für jedes erdenkliche Paar von Ge-
bieten aus der Reihe der a, b, c, ... (mitsamt dem zugehörigen aus
der Reihe der x, y, z, ...) hingeschrieben zu denken, resp. wirklich
unter die Proposition a) noch die Propositionen zu setzen:
(x a) (z c) (a c = 0) (x z = 0),
(y b) (z c) (b c = 0) (y z = 0),
. . . . . . . . . . . . .
und dann alle miteinander überschiebend zu multipliziren -- nach
Th. 17x). Linkerhand sich wiederholende Faktoren kraft des Tautologie-
gesetzes 14x) nur einmal schreibend wird man so das Theorem g)
gewonnen haben.

Obwol wir hiermit im wesentlichen zu Ende sind, ist es doch
lehrreich, sowol den Beweis, als auch die Ausdrucksformen unsres
Theorems noch verschiedentlich zu variiren.

Behufs Beweises von a) könnte man auch einfach gemäss den Sche-
mata l) und m) des § 32 die "Gültigkeitsklassen" der verschiednen (Faktor-)
Aussagen zur Linken und Rechten dieser Subsumtion ansetzen. Dieselbe
kommt dann auf:
(x1 + a) (y1 + b) (a1 + b1) x1 + y1
oder nach Th. 38x) nebst 36+) und 31) auf die Gleichung:

§ 46. Studie. Hülfssatz zum Hauber’schen Satze.

Generalisiren lässt der Satz sich auf verschiedene Weise. Man könnte
ihn samt dem erwähnten Beweisverfahren sogleich auf beliebig viele Symbol-
paare ausdehnen in der Gestalt:
β) (x ⊆ a) (y ⊆ b) (z ⊆ c) … (a b c … = 0) ⊆ (x y z … = 0).
In der That folgt aus den vorausgesetzten Subsumtionen durch über-
schiebendes Multipliziren nach Th. 17×), dass x y z … ⊆ a b c … sein muss,
wo nun aber die rechte Seite laut der vorausgesetzten Gleichung durch O
ersetzt werden darf nach Th. 2) und schliesslich nur zu beachten bleibt,
dass Einordnung unter die Null Gleichheit bedeutet nach Th. 5×), sonach
x y z … = 0 sein muss, q. e. d.

Dies wäre nun aber ein anderer als der obige Satz. Für dreie oder
mehr Symbolpaare wird jener vielmehr lauten:

Wenn a, b, c, … unter sich disjunkt sind und x in a, y in b, z
in c, … ganz enthalten, so müssen auch x, y, z, … unter sich dis-
junkt sein.

Oder in Formeln:
γ) (x ⊆ a) (y ⊆ b) (z ⊆ c) … (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) …
… ⊆ (x y = 0) (x z = 0) (y z = 0) …

Um dies auf die nächstliegende und einfachste Art zu beweisen
braucht man sich nur den Satz α) für jedes erdenkliche Paar von Ge-
bieten aus der Reihe der a, b, c, … (mitsamt dem zugehörigen aus
der Reihe der x, y, z, …) hingeschrieben zu denken, resp. wirklich
unter die Proposition α) noch die Propositionen zu setzen:
(x ⊆ a) (z ⊆ c) (a c = 0) ⊆ (x z = 0),
(y ⊆ b) (z ⊆ c) (b c = 0) ⊆ (y z = 0),
. . . . . . . . . . . . .
und dann alle miteinander überschiebend zu multipliziren — nach
Th. 1̅7̅×). Linkerhand sich wiederholende Faktoren kraft des Tautologie-
gesetzes 1̅4̅×) nur einmal schreibend wird man so das Theorem γ)
gewonnen haben.

Obwol wir hiermit im wesentlichen zu Ende sind, ist es doch
lehrreich, sowol den Beweis, als auch die Ausdrucksformen unsres
Theorems noch verschiedentlich zu variiren.

Behufs Beweises von α) könnte man auch einfach gemäss den Sche-
mata λ) und μ) des § 32 die „Gültigkeitsklassen“ der verschiednen (Faktor-)
Aussagen zur Linken und Rechten dieser Subsumtion ansetzen. Dieselbe
kommt dann auf:
(x1 + a) (y1 + b) (a1 + b1) ⊆ x1 + y1
oder nach Th. 38×) nebst 36+) und 31) auf die Gleichung:

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[281/0305] § 46. Studie. Hülfssatz zum Hauber’schen Satze. Generalisiren lässt der Satz sich auf verschiedene Weise. Man könnte ihn samt dem erwähnten Beweisverfahren sogleich auf beliebig viele Symbol- paare ausdehnen in der Gestalt: β) (x  a) (y  b) (z  c) … (a b c … = 0)  (x y z … = 0). In der That folgt aus den vorausgesetzten Subsumtionen durch über- schiebendes Multipliziren nach Th. 17×), dass x y z …  a b c … sein muss, wo nun aber die rechte Seite laut der vorausgesetzten Gleichung durch O ersetzt werden darf nach Th. 2) und schliesslich nur zu beachten bleibt, dass Einordnung unter die Null Gleichheit bedeutet nach Th. 5×), sonach x y z … = 0 sein muss, q. e. d. Dies wäre nun aber ein anderer als der obige Satz. Für dreie oder mehr Symbolpaare wird jener vielmehr lauten: Wenn a, b, c, … unter sich disjunkt sind und x in a, y in b, z in c, … ganz enthalten, so müssen auch x, y, z, … unter sich dis- junkt sein. Oder in Formeln: γ) (x  a) (y  b) (z  c) … (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) … …  (x y = 0) (x z = 0) (y z = 0) … Um dies auf die nächstliegende und einfachste Art zu beweisen braucht man sich nur den Satz α) für jedes erdenkliche Paar von Ge- bieten aus der Reihe der a, b, c, … (mitsamt dem zugehörigen aus der Reihe der x, y, z, …) hingeschrieben zu denken, resp. wirklich unter die Proposition α) noch die Propositionen zu setzen: (x  a) (z  c) (a c = 0)  (x z = 0), (y  b) (z  c) (b c = 0)  (y z = 0), . . . . . . . . . . . . . und dann alle miteinander überschiebend zu multipliziren — nach Th. 1̅7̅×). Linkerhand sich wiederholende Faktoren kraft des Tautologie- gesetzes 1̅4̅×) nur einmal schreibend wird man so das Theorem γ) gewonnen haben. Obwol wir hiermit im wesentlichen zu Ende sind, ist es doch lehrreich, sowol den Beweis, als auch die Ausdrucksformen unsres Theorems noch verschiedentlich zu variiren. Behufs Beweises von α) könnte man auch einfach gemäss den Sche- mata λ) und μ) des § 32 die „Gültigkeitsklassen“ der verschiednen (Faktor-) Aussagen zur Linken und Rechten dieser Subsumtion ansetzen. Dieselbe kommt dann auf: (x1 + a) (y1 + b) (a1 + b1)  x1 + y1 oder nach Th. 38×) nebst 36+) und 31) auf die Gleichung:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 281. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/305>, abgerufen am 23.11.2024.