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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.
Zu ax)a, b, cZu a+)a, b, c
x0 0 0*x0 0 0*
x0 0 i*0 0 i
0 i 0*x0 i 0*
xi 0 0*xi 0 0*
x0 i i*0 i i*
i 0 i*i 0 i*
i i 0xi i 0*
xi i i*xi i i*
Von diesen erfüllen die rechts mit Stern ausgezeichneten die Annahme:
a b cc a + b
sintemal 0 0, 0 i und i i, dagegen nicht i 0 ist. Für die
links mit Kreuz bezeichneten gilt sogar:
(a c) (b c),(c a) (c b),
für die erste links unbezeichnete gilt
nur a c, für die zweite nur b c.		für die letzte links unbezeichnete gilt
nur c a, für die vorletzte nur c b.

Die Kontrole stimmt also, indem die 7 Fälle, wo mindestens eine von
diesen letztern Aussagen mithin die rechte Seite des Theorems zutrifft,
zusammenfallen mit den 7 rechts besternten Fällen in welchen auch die
andre Seite des Theorems zutraf.

Der siebente Fall links und der zweite rechts ist der einzige, wo die
eine (und dann ebenso auch die andre) Seite dieser Aussagenäquivalenz
nicht zutrifft, etwas Falsches besagt. In jenen 7 Fällen lief unser Theo-
rem auf die Identität i = i, in diesem einen Falle auf 0 = 0 hinaus,
d. h. es bewahrheitete sich durchaus.

Dehnt man die Sätze a) auch auf beliebig viele Operationsglieder
(Terme) aus und verwendet dann zu ihrer abgekürzten Darstellung
Produkt- und Summenzeichen, so entstehen bei der Annahme

c = 0c = i
mit Rücksicht auf Th. 5n) die beiden ersten von den folgenden vier
Sätzen:
*bx) (P a = 0) = S (a = 0)*b+) (S a = i) = S (a = i)
(P a 0) = P (a 0)(S a i) = P (a i)
aus welchen die darunter gesetzten durch beiderseitiges Negiren, Kontra-
position, gemäss Th. 32) und 36) hervorgehn.

Dieselben bilden das Gegenstück zur ersten Zeile der Theoreme
§ 40, b), erweisen sich indessen als blosse Umschreibungen von eben-

§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.
Zu α×)a, b, cZu α+)a, b, c
×0 0 0*×0 0 0*
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Von diesen erfüllen die rechts mit Stern ausgezeichneten die Annahme:
a b ⊆ cc ⊆ a + b
sintemal 0 ⊆ 0, 0 ⊆ i und i ⊆ i, dagegen nicht i ⊆ 0 ist. Für die
links mit Kreuz bezeichneten gilt sogar:
(a ⊆ c) (b ⊆ c),(c ⊆ a) (c ⊆ b),
für die erste links unbezeichnete gilt
nur a ⊆ c, für die zweite nur b ⊆ c.		für die letzte links unbezeichnete gilt
nur c ⊆ a, für die vorletzte nur c ⊆ b.

Die Kontrole stimmt also, indem die 7 Fälle, wo mindestens eine von
diesen letztern Aussagen mithin die rechte Seite des Theorems zutrifft,
zusammenfallen mit den 7 rechts besternten Fällen in welchen auch die
andre Seite des Theorems zutraf.

Der siebente Fall links und der zweite rechts ist der einzige, wo die
eine (und dann ebenso auch die andre) Seite dieser Aussagenäquivalenz
nicht zutrifft, etwas Falsches besagt. In jenen 7 Fällen lief unser Theo-
rem auf die Identität i = i, in diesem einen Falle auf 0 = 0 hinaus,
d. h. es bewahrheitete sich durchaus.

Dehnt man die Sätze α) auch auf beliebig viele Operationsglieder
(Terme) aus und verwendet dann zu ihrer abgekürzten Darstellung
Produkt- und Summenzeichen, so entstehen bei der Annahme

c = 0c = i
mit Rücksicht auf Th. 5̄) die beiden ersten von den folgenden vier
Sätzen:
*β×) (Π a = 0) = Σ (a = 0)*β+) (Σ a = i) = Σ (a = i)
(Π a ≠ 0) = Π (a ≠ 0)(Σ a ≠ i) = Π (a ≠ i)
aus welchen die darunter gesetzten durch beiderseitiges Negiren, Kontra-
position, gemäss Th. 3̅2̅) und 3̅6̅) hervorgehn.

Dieselben bilden das Gegenstück zur ersten Zeile der Theoreme
§ 40, β), erweisen sich indessen als blosse Umschreibungen von eben-

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[261/0285] § 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls. Zu α×) a, b, c Zu α+) a, b, c ×0 0 0* ×0 0 0* ×0 0 i* 0 0 i 0 i 0* ×0 i 0* ×i 0 0* ×i 0 0* ×0 i i* 0 i i* i 0 i* i 0 i* i i 0 ×i i 0* ×i i i* ×i i i* Von diesen erfüllen die rechts mit Stern ausgezeichneten die Annahme: a b  c c  a + b sintemal 0  0, 0  i und i  i, dagegen nicht i  0 ist. Für die links mit Kreuz bezeichneten gilt sogar: (a  c) (b  c), (c  a) (c  b), für die erste links unbezeichnete gilt nur a  c, für die zweite nur b  c. für die letzte links unbezeichnete gilt nur c  a, für die vorletzte nur c  b. Die Kontrole stimmt also, indem die 7 Fälle, wo mindestens eine von diesen letztern Aussagen mithin die rechte Seite des Theorems zutrifft, zusammenfallen mit den 7 rechts besternten Fällen in welchen auch die andre Seite des Theorems zutraf. Der siebente Fall links und der zweite rechts ist der einzige, wo die eine (und dann ebenso auch die andre) Seite dieser Aussagenäquivalenz nicht zutrifft, etwas Falsches besagt. In jenen 7 Fällen lief unser Theo- rem auf die Identität i = i, in diesem einen Falle auf 0 = 0 hinaus, d. h. es bewahrheitete sich durchaus. Dehnt man die Sätze α) auch auf beliebig viele Operationsglieder (Terme) aus und verwendet dann zu ihrer abgekürzten Darstellung Produkt- und Summenzeichen, so entstehen bei der Annahme c = 0 c = i mit Rücksicht auf Th. 5̄) die beiden ersten von den folgenden vier Sätzen: *β×) (Π a = 0) = Σ (a = 0) *β+) (Σ a = i) = Σ (a = i) (Π a ≠ 0) = Π (a ≠ 0) (Σ a ≠ i) = Π (a ≠ i) aus welchen die darunter gesetzten durch beiderseitiges Negiren, Kontra- position, gemäss Th. 3̅2̅) und 3̅6̅) hervorgehn. Dieselben bilden das Gegenstück zur ersten Zeile der Theoreme § 40, β), erweisen sich indessen als blosse Umschreibungen von eben-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 261. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/285>, abgerufen am 23.11.2024.