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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.

In der That ist bei ax) die linke Seite:
A = (a b c) = (a b)1 + c = a1 + b1 + c,
und die rechte:
B = (a c) + (b c) = a1 + c + b1 + c = a1 + b1 + c
-- gemäss dem Schema l) des § 32. Ebenso sind bei a+) die beiden
Seiten dieser Gleichung äquivalent ihrer Gültigkeitsklasse, welche sich für
sie als die nämliche: c1 + a + b erweist und auch als die Aussage zu
deuten ist, dass entweder c nicht gilt oder auch a oder b gilt.

McColl3 p. 16 gibt von den obigen Sätzen wenigstens diejenigen
beiden Teilsätze, die in denselben mitgegeben erscheinen, wenn man die
Gleichungen als Subsumtionen rückwärts liest, und zwar indem er diese Ein-
ordnungen wol als selbstverständliche hinstellt.

Ich habe die Sätze systematisch gefunden, indem ich mir die Aufgabe
stellte -- bei ax) z. B. -- wenn
z = (a b c), x = (a c), y (b c)
definirt wird, unter Elimination von a, b, c die Aussage z als Unbe-
kannnte durch x und y auszudrücken. Die Ausführung ist in einer Hin-
sicht lehrreich.

Wir haben alsdann:
z = a1 + b1 + c, x = a1 + c, y = b1 + c
und können die Aufstellung der "vereinigten Gleichung" von diesen dreien,
sowie die successive Elimination von a, b und c konform den Methoden
des § 21 füglich dem Leser überlassen. Die Resultante lautet:
0 = x1 y1 z + (x + y) z1
und ist dieselbe äquivalent ihrer Auflösung nach z, als welche sich zu-
nächst ergibt:
z = x + y + u x1 y1,
wo u eine unbestimmte Aussage vorstellt. Diese letztere u ist aber hier
nicht arbiträr oder willkürlich, weil z nicht blos durch die zur Auflösung
vorgelegte Gleichung bestimmt erscheint, sondern von vornherein, schon
anderweitig, gegeben ist. Einsetzung der Werte von x, y, z in die letzte
Gleichung -- wie sie angezeigt erscheint durch die Forderung, nunmehr
die Probe der gefundnen Auflösung zu machen -- gibt:
a1 + b1 + c = a1 + b1 + c + u a b c1,
oder:
A = A + u A1.

Damit aber diese Gleichung gelten könne, muss
u A1 = 0
sein, wie man erkennt, indem man nach Th. 39) die Gleichung rechter-
hand auf 0 bringt, oder auch -- noch bequemer -- indem man sie beider-

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§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.

In der That ist bei α×) die linke Seite:
A = (a b ⊆ c) = (a b)1 + c = a1 + b1 + c,
und die rechte:
B = (a ⊆ c) + (b ⊆ c) = a1 + c + b1 + c = a1 + b1 + c
— gemäss dem Schema λ) des § 32. Ebenso sind bei α+) die beiden
Seiten dieser Gleichung äquivalent ihrer Gültigkeitsklasse, welche sich für
sie als die nämliche: c1 + a + b erweist und auch als die Aussage zu
deuten ist, dass entweder c nicht gilt oder auch a oder b gilt.

McColl3 p. 16 gibt von den obigen Sätzen wenigstens diejenigen
beiden Teilsätze, die in denselben mitgegeben erscheinen, wenn man die
Gleichungen als Subsumtionen rückwärts liest, und zwar indem er diese Ein-
ordnungen wol als selbstverständliche hinstellt.

Ich habe die Sätze systematisch gefunden, indem ich mir die Aufgabe
stellte — bei α×) z. B. — wenn
z = (a b ⊆ c), x = (a ⊆ c), y ⊆ (b ⊆ c)
definirt wird, unter Elimination von a, b, c die Aussage z als Unbe-
kannnte durch x und y auszudrücken. Die Ausführung ist in einer Hin-
sicht lehrreich.

Wir haben alsdann:
z = a1 + b1 + c, x = a1 + c, y = b1 + c
und können die Aufstellung der „vereinigten Gleichung“ von diesen dreien,
sowie die successive Elimination von a, b und c konform den Methoden
des § 21 füglich dem Leser überlassen. Die Resultante lautet:
0 = x1 y1 z + (x + y) z1
und ist dieselbe äquivalent ihrer Auflösung nach z, als welche sich zu-
nächst ergibt:
z = x + y + u x1 y1,
wo u eine unbestimmte Aussage vorstellt. Diese letztere u ist aber hier
nicht arbiträr oder willkürlich, weil z nicht blos durch die zur Auflösung
vorgelegte Gleichung bestimmt erscheint, sondern von vornherein, schon
anderweitig, gegeben ist. Einsetzung der Werte von x, y, z in die letzte
Gleichung — wie sie angezeigt erscheint durch die Forderung, nunmehr
die Probe der gefundnen Auflösung zu machen — gibt:
a1 + b1 + c = a1 + b1 + c + u a b c1,
oder:
A = A + u A1.

Damit aber diese Gleichung gelten könne, muss
u A1 = 0
sein, wie man erkennt, indem man nach Th. 39) die Gleichung rechter-
hand auf 0 bringt, oder auch — noch bequemer — indem man sie beider-

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[259/0283] § 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls. In der That ist bei α×) die linke Seite: A = (a b  c) = (a b)1 + c = a1 + b1 + c, und die rechte: B = (a  c) + (b  c) = a1 + c + b1 + c = a1 + b1 + c — gemäss dem Schema λ) des § 32. Ebenso sind bei α+) die beiden Seiten dieser Gleichung äquivalent ihrer Gültigkeitsklasse, welche sich für sie als die nämliche: c1 + a + b erweist und auch als die Aussage zu deuten ist, dass entweder c nicht gilt oder auch a oder b gilt. McColl3 p. 16 gibt von den obigen Sätzen wenigstens diejenigen beiden Teilsätze, die in denselben mitgegeben erscheinen, wenn man die Gleichungen als Subsumtionen rückwärts liest, und zwar indem er diese Ein- ordnungen wol als selbstverständliche hinstellt. Ich habe die Sätze systematisch gefunden, indem ich mir die Aufgabe stellte — bei α×) z. B. — wenn z = (a b  c), x = (a  c), y  (b  c) definirt wird, unter Elimination von a, b, c die Aussage z als Unbe- kannnte durch x und y auszudrücken. Die Ausführung ist in einer Hin- sicht lehrreich. Wir haben alsdann: z = a1 + b1 + c, x = a1 + c, y = b1 + c und können die Aufstellung der „vereinigten Gleichung“ von diesen dreien, sowie die successive Elimination von a, b und c konform den Methoden des § 21 füglich dem Leser überlassen. Die Resultante lautet: 0 = x1 y1 z + (x + y) z1 und ist dieselbe äquivalent ihrer Auflösung nach z, als welche sich zu- nächst ergibt: z = x + y + u x1 y1, wo u eine unbestimmte Aussage vorstellt. Diese letztere u ist aber hier nicht arbiträr oder willkürlich, weil z nicht blos durch die zur Auflösung vorgelegte Gleichung bestimmt erscheint, sondern von vornherein, schon anderweitig, gegeben ist. Einsetzung der Werte von x, y, z in die letzte Gleichung — wie sie angezeigt erscheint durch die Forderung, nunmehr die Probe der gefundnen Auflösung zu machen — gibt: a1 + b1 + c = a1 + b1 + c + u a b c1, oder: A = A + u A1. Damit aber diese Gleichung gelten könne, muss u A1 = 0 sein, wie man erkennt, indem man nach Th. 39) die Gleichung rechter- hand auf 0 bringt, oder auch — noch bequemer — indem man sie beider- 17*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 259. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/283>, abgerufen am 18.02.2025.