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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zwanzigste Vorlesung.
ersten Faktoren (c b) (b a) der Hypothesis des in e) berichtigten
Schlusses Bamalip diesen Mittelterm b gemäss Barbara oder Prinzip II
eliminirt, und die Resultante c a hernach mit dem dritten (b ohne-
hin nicht enthaltenden) Faktor c 0 der Voraussetzung als einer
simultan geltenden Aussage multiplikativ verknüpft. In Worten wird
die volle Konklusion darnach am besten ausgedrückt, indem man sagt:
Alle c sind a und es gibt c.

Die Äquivalenz jener beiden Konklusionen lässt sich auch leicht
direkt nachweisen; dieselbe konstituirt einen kleinen Satz des Klassen-
kalkuls, welcher (wenn wir die Buchstaben c, a durch a, b ersetzen)
lautet:
x) (a b) (a b 0) = (a b) (a 0).

Um ihn zu beweisen, bemerke man erstlich, dass (a b 0) (a 0)
nach bereits gegebenem Satze § 40, a') ist, woraus durch beiderseitiges
Multipliziren mit (a b) die eine von den beiden in der behaupteten
Gleichung enthaltenen Subsumtionen gewonnen ist, nämlich:
(a b) (a b 0) (a b) (a 0).

Zweitens beachte man, dass nach bekanntesten Sätzen:
(a b) (a 0) = (a b1 = 0) (a b + a b1 0) = (a b1 = 0) { (a b 0) + (a b1 0)}
sein wird. Wegen der Voraussetzung a b1 = 0 darf aber in der Summe
a b + a b1 der letzte Term als verschwindend unterdrückt werden, wodurch
wir (a b1 = 0) (a b 0) oder (a b) (a b 0) als Folgerung erhalten, so-
mit auch die umgekehrte Subsumtion bewiesen ist:
(a b) (a 0) (a b) (a b 0)
-- oder anders: es durfte oben beim Ausmultipliziren der letzte Term als
Inkonsistenz unterdrückt werden. -- Am schnellsten folgt x) aus Th. 20x)
und § 41, d).

[Um den vorhin ausgeführten Schluss
(c = 0) {f (c) 0} {f (0) 0}
(bei welchem wir a b1 kürzer durch c dargestellt haben) rein rechnerisch zu
begründen, kann man auch so verfahren. Es ist nach Th. 6nx):
(c = 0) {f (c) 0} (c 0)
und ferner ist: (c = 0) {f (c) = f (0)} -- sowie überhaupt:
(b = a) {f (b) = f (a)}
-- in Anbetracht, dass es in jedem Funktionsausdruck nach Th. 32),
Zus. 2, vergl. § 29, gestattet ist, Gleiches für Gleiches zu setzen. Dies
gibt also auch a fortiori:
(c = 0) {f (c) 0} {f (c) = f (0)}
und dieses wiederum:

Zwanzigste Vorlesung.
ersten Faktoren (c ⊆ b) (b ⊆ a) der Hypothesis des in ε) berichtigten
Schlusses Bamalip diesen Mittelterm b gemäss Barbara oder Prinzip II
eliminirt, und die Resultante c ⊆ a hernach mit dem dritten (b ohne-
hin nicht enthaltenden) Faktor c ≠ 0 der Voraussetzung als einer
simultan geltenden Aussage multiplikativ verknüpft. In Worten wird
die volle Konklusion darnach am besten ausgedrückt, indem man sagt:
Alle c sind a und es gibt c.

Die Äquivalenz jener beiden Konklusionen lässt sich auch leicht
direkt nachweisen; dieselbe konstituirt einen kleinen Satz des Klassen-
kalkuls, welcher (wenn wir die Buchstaben c, a durch a, b ersetzen)
lautet:
ξ) (a ⊆ b) (a b ≠ 0) = (a ⊆ b) (a ≠ 0).

Um ihn zu beweisen, bemerke man erstlich, dass (a b ≠ 0) ⊆ (a ≠ 0)
nach bereits gegebenem Satze § 40, α') ist, woraus durch beiderseitiges
Multipliziren mit (a ⊆ b) die eine von den beiden in der behaupteten
Gleichung enthaltenen Subsumtionen gewonnen ist, nämlich:
(a ⊆ b) (a b ≠ 0) ⊆ (a ⊆ b) (a ≠ 0).

Zweitens beachte man, dass nach bekanntesten Sätzen:
(a ⊆ b) (a ≠ 0) = (a b1 = 0) (a b + a b1 ≠ 0) = (a b1 = 0) { (a b ≠ 0) + (a b1 ≠0)}
sein wird. Wegen der Voraussetzung a b1 = 0 darf aber in der Summe
a b + a b1 der letzte Term als verschwindend unterdrückt werden, wodurch
wir (a b1 = 0) (a b ≠ 0) oder (a ⊆ b) (a b ≠ 0) als Folgerung erhalten, so-
mit auch die umgekehrte Subsumtion bewiesen ist:
(a ⊆ b) (a ≠ 0) ⊆ (a ⊆ b) (a b ≠ 0)
— oder anders: es durfte oben beim Ausmultipliziren der letzte Term als
Inkonsistenz unterdrückt werden. — Am schnellsten folgt ξ) aus Th. 20×)
und § 41, δ).

[Um den vorhin ausgeführten Schluss
(c = 0) {f (c) ≠ 0} ⊆ {f (0) ≠ 0}
(bei welchem wir a b1 kürzer durch c dargestellt haben) rein rechnerisch zu
begründen, kann man auch so verfahren. Es ist nach Th. 6̄×):
(c = 0) {f (c) ≠ 0} ⊆ (c ⊆ 0)
und ferner ist: (c = 0) ⊆ {f (c) = f (0)} — sowie überhaupt:
(b = a) ⊆ {f (b) = f (a)}
— in Anbetracht, dass es in jedem Funktionsausdruck nach Th. 32),
Zus. 2, vergl. § 29, gestattet ist, Gleiches für Gleiches zu setzen. Dies
gibt also auch a fortiori:
(c = 0) {f (c) ≠ 0} ⊆ {f (c) = f (0)}
und dieses wiederum:

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[242/0266] Zwanzigste Vorlesung. ersten Faktoren (c  b) (b  a) der Hypothesis des in ε) berichtigten Schlusses Bamalip diesen Mittelterm b gemäss Barbara oder Prinzip II eliminirt, und die Resultante c  a hernach mit dem dritten (b ohne- hin nicht enthaltenden) Faktor c ≠ 0 der Voraussetzung als einer simultan geltenden Aussage multiplikativ verknüpft. In Worten wird die volle Konklusion darnach am besten ausgedrückt, indem man sagt: Alle c sind a und es gibt c. Die Äquivalenz jener beiden Konklusionen lässt sich auch leicht direkt nachweisen; dieselbe konstituirt einen kleinen Satz des Klassen- kalkuls, welcher (wenn wir die Buchstaben c, a durch a, b ersetzen) lautet: ξ) (a  b) (a b ≠ 0) = (a  b) (a ≠ 0). Um ihn zu beweisen, bemerke man erstlich, dass (a b ≠ 0)  (a ≠ 0) nach bereits gegebenem Satze § 40, α') ist, woraus durch beiderseitiges Multipliziren mit (a  b) die eine von den beiden in der behaupteten Gleichung enthaltenen Subsumtionen gewonnen ist, nämlich: (a  b) (a b ≠ 0)  (a  b) (a ≠ 0). Zweitens beachte man, dass nach bekanntesten Sätzen: (a  b) (a ≠ 0) = (a b1 = 0) (a b + a b1 ≠ 0) = (a b1 = 0) { (a b ≠ 0) + (a b1 ≠0)} sein wird. Wegen der Voraussetzung a b1 = 0 darf aber in der Summe a b + a b1 der letzte Term als verschwindend unterdrückt werden, wodurch wir (a b1 = 0) (a b ≠ 0) oder (a  b) (a b ≠ 0) als Folgerung erhalten, so- mit auch die umgekehrte Subsumtion bewiesen ist: (a  b) (a ≠ 0)  (a  b) (a b ≠ 0) — oder anders: es durfte oben beim Ausmultipliziren der letzte Term als Inkonsistenz unterdrückt werden. — Am schnellsten folgt ξ) aus Th. 20×) und § 41, δ). [Um den vorhin ausgeführten Schluss (c = 0) {f (c) ≠ 0}  {f (0) ≠ 0} (bei welchem wir a b1 kürzer durch c dargestellt haben) rein rechnerisch zu begründen, kann man auch so verfahren. Es ist nach Th. 6̄×): (c = 0) {f (c) ≠ 0}  (c  0) und ferner ist: (c = 0)  {f (c) = f (0)} — sowie überhaupt: (b = a)  {f (b) = f (a)} — in Anbetracht, dass es in jedem Funktionsausdruck nach Th. 32), Zus. 2, vergl. § 29, gestattet ist, Gleiches für Gleiches zu setzen. Dies gibt also auch a fortiori: (c = 0) {f (c) ≠ 0}  {f (c) = f (0)} und dieses wiederum:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 242. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/266>, abgerufen am 18.02.2025.