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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 43. Miss Ladd's rechnerische Behandlung der 15 gültigen Modi.
Ebenso kann man aber auch den zweiten oder ersten Faktor nach
rechts werfen und darnach die Formel umschreiben in:
A2) (a b = 0) (a g 0) (b1 g 0)
A3) (b1 g = 0) (a g 0) (a b 0)
-- vergleiche auch § 31. Die beiden Subsumtionen A2) und A3)
würden sich übrigens durch gleichzeitige Vertauschung von a mit g
und b mit b1 in einander überführen lassen und stellen dieselben
wesentlich nur einen Satz vor.

Miss Ladd stellt die Formel A) hin als einen besondern Fall der
allgemeineren Inkonsistenz:
B) (a b = 0) (g d = 0) {a g (b + d) 0} = 0
welche ihrerseits nur eine Umschreibung ist der Subsumtion:
B1) (a b = 0) (g d = 0) {a g (b + d) = 0},
die sich sozusagen von selbst versteht, in Anbetracht, dass unter den Vor-
aussetzungen linkerhand die beiden Terme des Polynoms der rechten Seite
beim Ausmultipliziren verschwinden, die Aussage rechterhand sich also be-
wahrheitet, in (0 = 0) = i übergeht.

Aus B) ergibt sich A) durch die Annahme d = b1, für welche also
b + d = b + b1 = 1 wird und als Faktor unterdrückt werden darf.

Mit dieser Betrachtung ist implicite auch eine neue Ableitung resp.
Demonstration des Theorems A0) von Miss Ladd gegeben, welche als ori-
ginell zu bezeichnen ist.

Aus der gemeinsamen Hauptformel A), und zwar in ihrer Um-
schreibung A1), geht nun der Syllogismus
Barbara hervor, indem man setzt:
a = a, b = b1, g = c1
oder noch besser:
a = c1, b = b, g = a.

Hierduch ergibt sich in der That:
(a b1 = 0) (b c1 = 0) (a c1 = 0)
was nach Th. 38x) äquivalent ist mit:
(a b) (b c) (a c).

Man kann jedoch natürlich auch selbständig zuwerke gehen. Um aus
den Prämissen a b1 = 0 und b c1 = 0 das Mittelglied b zu eliminiren, bilde
man die vereinigte Gleichung a b1 + c1 b = 0 und erhält als die Eliminations-
resultante: a c1 = 0 oder a c. Elegant gewinnt man rechnerisch die Kon-
klusion, indem man den Untersatz a b1 = 0 mit c1, den Obersatz b c1 = 0
mit a durchmultiplizirt und die Ergebnisse überschiebend addirt, das
Th. 30+) b1 + b = 1 berücksichtigend, vergl. Peano1 p. 16. --

§ 43. Miss Ladd’s rechnerische Behandlung der 15 gültigen Modi.
Ebenso kann man aber auch den zweiten oder ersten Faktor nach
rechts werfen und darnach die Formel umschreiben in:
A2) (α β = 0) (α γ ≠ 0) ⊆ (β1 γ ≠ 0)
A3) (β1 γ = 0) (α γ ≠ 0) ⊆ (α β ≠ 0)
— vergleiche auch § 31. Die beiden Subsumtionen A2) und A3)
würden sich übrigens durch gleichzeitige Vertauschung von α mit γ
und β mit β1 in einander überführen lassen und stellen dieselben
wesentlich nur einen Satz vor.

Miss Ladd stellt die Formel A) hin als einen besondern Fall der
allgemeineren Inkonsistenz:
B) (α β = 0) (γ δ = 0) {α γ (β + δ) ≠ 0} = 0
welche ihrerseits nur eine Umschreibung ist der Subsumtion:
B1) (α β = 0) (γ δ = 0) ⊆ {α γ (β + δ) = 0},
die sich sozusagen von selbst versteht, in Anbetracht, dass unter den Vor-
aussetzungen linkerhand die beiden Terme des Polynoms der rechten Seite
beim Ausmultipliziren verschwinden, die Aussage rechterhand sich also be-
wahrheitet, in (0 = 0) = i übergeht.

Aus B) ergibt sich A) durch die Annahme δ = β1, für welche also
β + δ = β + β1 = 1 wird und als Faktor unterdrückt werden darf.

Mit dieser Betrachtung ist implicite auch eine neue Ableitung resp.
Demonstration des Theorems A0) von Miss Ladd gegeben, welche als ori-
ginell zu bezeichnen ist.

Aus der gemeinsamen Hauptformel A), und zwar in ihrer Um-
schreibung A1), geht nun der Syllogismus
Barbara hervor, indem man setzt:
α = a, β = b1, γ = c1
oder noch besser:
α = c1, β = b, γ = a.

Hierduch ergibt sich in der That:
(a b1 = 0) (b c1 = 0) ⊆ (a c1 = 0)
was nach Th. 38×) äquivalent ist mit:
(a ⊆ b) (b ⊆ c) ⊆ (a ⊆ c).

Man kann jedoch natürlich auch selbständig zuwerke gehen. Um aus
den Prämissen a b1 = 0 und b c1 = 0 das Mittelglied b zu eliminiren, bilde
man die vereinigte Gleichung a b1 + c1 b = 0 und erhält als die Eliminations-
resultante: a c1 = 0 oder a ⊆ c. Elegant gewinnt man rechnerisch die Kon-
klusion, indem man den Untersatz a b1 = 0 mit c1, den Obersatz b c1 = 0
mit a durchmultiplizirt und die Ergebnisse überschiebend addirt, das
Th. 30+) b1 + b = 1 berücksichtigend, vergl. Peano1 p. 16. —

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[229/0253] § 43. Miss Ladd’s rechnerische Behandlung der 15 gültigen Modi. Ebenso kann man aber auch den zweiten oder ersten Faktor nach rechts werfen und darnach die Formel umschreiben in: A2) (α β = 0) (α γ ≠ 0)  (β1 γ ≠ 0) A3) (β1 γ = 0) (α γ ≠ 0)  (α β ≠ 0) — vergleiche auch § 31. Die beiden Subsumtionen A2) und A3) würden sich übrigens durch gleichzeitige Vertauschung von α mit γ und β mit β1 in einander überführen lassen und stellen dieselben wesentlich nur einen Satz vor. Miss Ladd stellt die Formel A) hin als einen besondern Fall der allgemeineren Inkonsistenz: B) (α β = 0) (γ δ = 0) {α γ (β + δ) ≠ 0} = 0 welche ihrerseits nur eine Umschreibung ist der Subsumtion: B1) (α β = 0) (γ δ = 0)  {α γ (β + δ) = 0}, die sich sozusagen von selbst versteht, in Anbetracht, dass unter den Vor- aussetzungen linkerhand die beiden Terme des Polynoms der rechten Seite beim Ausmultipliziren verschwinden, die Aussage rechterhand sich also be- wahrheitet, in (0 = 0) = i übergeht. Aus B) ergibt sich A) durch die Annahme δ = β1, für welche also β + δ = β + β1 = 1 wird und als Faktor unterdrückt werden darf. Mit dieser Betrachtung ist implicite auch eine neue Ableitung resp. Demonstration des Theorems A0) von Miss Ladd gegeben, welche als ori- ginell zu bezeichnen ist. Aus der gemeinsamen Hauptformel A), und zwar in ihrer Um- schreibung A1), geht nun der Syllogismus Barbara hervor, indem man setzt: α = a, β = b1, γ = c1 oder noch besser: α = c1, β = b, γ = a. Hierduch ergibt sich in der That: (a b1 = 0) (b c1 = 0)  (a c1 = 0) was nach Th. 38×) äquivalent ist mit: (a  b) (b  c)  (a  c). Man kann jedoch natürlich auch selbständig zuwerke gehen. Um aus den Prämissen a b1 = 0 und b c1 = 0 das Mittelglied b zu eliminiren, bilde man die vereinigte Gleichung a b1 + c1 b = 0 und erhält als die Eliminations- resultante: a c1 = 0 oder a  c. Elegant gewinnt man rechnerisch die Kon- klusion, indem man den Untersatz a b1 = 0 mit c1, den Obersatz b c1 = 0 mit a durchmultiplizirt und die Ergebnisse überschiebend addirt, das Th. 30+) b1 + b = 1 berücksichtigend, vergl. Peano1 p. 16. —

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 229. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/253>, abgerufen am 27.11.2024.