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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zwanzigste Vorlesung.
§ 43. Miss Ladd's rechnerische Behandlung der 15 gültigen Modi.
Beispiele.

Es ist das Verdienst einer "brilliant young lady-mathematician"*)
-- Miss Ladd, nunmehr Frau Professor Fabian Franklin, die 15 gül-
tigen Syllogismen auf einen gemeinsamen Ausdruck gebracht zu haben,
dieselben auf eine Weise, die wir jetzt darlegen wollen, mit einer
einzigen Formel zu begründen.

Für die beiden ersten Modi der ersten und zweiten Figur -- diese
vier sind die einzigen, die kein partikulares Urteil enthalten -- war
dies allerdings im Wesentlichen schon durch Boole's Eliminations-
theorem gegeben, welches sich in unsrer Vereinfachung als das Th. 50+)
darstellt, und auf eben dieses Theorem läuft auch die in Rede stehende
einheitliche Behandlung wieder wesentlich hinaus. In der Art aber,
wie diese Zurückführung nun ausgeführt wird (an der noch die
Boole'sche Disziplin scheiterte) wird man nicht umhin können, einen
ganz erheblichen Fortschritt zu erblicken.

Das Th. 50+) lehrte unter anderm, die Elimination eines Gebietes
aus einer (in Bezug auf dasselbe linearen homogenen) Gleichung (mit
der rechten Seite 0) zu vollziehen, und mögen wir uns den auf diese
Elimination bezüglichen Teil des Satzes durch die Formel dargestellt:
A0) (a b + g b1 = 0) (a g = 0)
in Erinnerung rufen.

Mit Rücksicht auf Th. 24+) kann aber die Gleichung linkerhand
zerfällt werden in das Produkt zweier Gleichungen, wonach die Formel
äquivalent erscheint mit
A1) (a b = 0) (b1 g = 0) (a g = 0)
und nach Th. 38x) also auch mit:
A) (a b = 0) (b1 g = 0) (a g 0) = 0.

Diese "Inkonsistenz" ist nun die Formel, welche alle gültigen Syllo-
gismen in sich schliesst.

Wirft man den dritten Faktor gemäss Th. 38x) nach rechts, so
kommt man auf die schon angegebene Subsumtion A1) zurück (die
bei Vertauschung von a und g nebst b und b1 ungeändert bleibt).

*) So laut brieflicher Mitteilung seitens eines namhaften Gelehrten und
Forschers an der Universität Cincinnati, auf Grund von dessen mir bekannter
Zuverlässigkeit ich den Ausdruck gerne zu dem meinigen mache.
Zwanzigste Vorlesung.
§ 43. Miss Ladd’s rechnerische Behandlung der 15 gültigen Modi.
Beispiele.

Es ist das Verdienst einer „brilliant young lady-mathematician“*)
— Miss Ladd, nunmehr Frau Professor Fabian Franklin, die 15 gül-
tigen Syllogismen auf einen gemeinsamen Ausdruck gebracht zu haben,
dieselben auf eine Weise, die wir jetzt darlegen wollen, mit einer
einzigen Formel zu begründen.

Für die beiden ersten Modi der ersten und zweiten Figur — diese
vier sind die einzigen, die kein partikulares Urteil enthalten — war
dies allerdings im Wesentlichen schon durch Boole’s Eliminations-
theorem gegeben, welches sich in unsrer Vereinfachung als das Th. 50+)
darstellt, und auf eben dieses Theorem läuft auch die in Rede stehende
einheitliche Behandlung wieder wesentlich hinaus. In der Art aber,
wie diese Zurückführung nun ausgeführt wird (an der noch die
Boole’sche Disziplin scheiterte) wird man nicht umhin können, einen
ganz erheblichen Fortschritt zu erblicken.

Das Th. 50+) lehrte unter anderm, die Elimination eines Gebietes
aus einer (in Bezug auf dasselbe linearen homogenen) Gleichung (mit
der rechten Seite 0) zu vollziehen, und mögen wir uns den auf diese
Elimination bezüglichen Teil des Satzes durch die Formel dargestellt:
A0) (α β + γ β1 = 0) ⊆ (α γ = 0)
in Erinnerung rufen.

Mit Rücksicht auf Th. 24+) kann aber die Gleichung linkerhand
zerfällt werden in das Produkt zweier Gleichungen, wonach die Formel
äquivalent erscheint mit
A1) (α β = 0) (β1 γ = 0) ⊆ (α γ = 0)
und nach Th. 3̅8̅×) also auch mit:
A) (α β = 0) (β1 γ = 0) (α γ ≠ 0) = 0.

Diese „Inkonsistenz“ ist nun die Formel, welche alle gültigen Syllo-
gismen in sich schliesst.

Wirft man den dritten Faktor gemäss Th. 3̅8̅×) nach rechts, so
kommt man auf die schon angegebene Subsumtion A1) zurück (die
bei Vertauschung von α und γ nebst β und β1 ungeändert bleibt).

*) So laut brieflicher Mitteilung seitens eines namhaften Gelehrten und
Forschers an der Universität Cincinnati, auf Grund von dessen mir bekannter
Zuverlässigkeit ich den Ausdruck gerne zu dem meinigen mache.
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[228/0252] Zwanzigste Vorlesung. § 43. Miss Ladd’s rechnerische Behandlung der 15 gültigen Modi. Beispiele. Es ist das Verdienst einer „brilliant young lady-mathematician“ *) — Miss Ladd, nunmehr Frau Professor Fabian Franklin, die 15 gül- tigen Syllogismen auf einen gemeinsamen Ausdruck gebracht zu haben, dieselben auf eine Weise, die wir jetzt darlegen wollen, mit einer einzigen Formel zu begründen. Für die beiden ersten Modi der ersten und zweiten Figur — diese vier sind die einzigen, die kein partikulares Urteil enthalten — war dies allerdings im Wesentlichen schon durch Boole’s Eliminations- theorem gegeben, welches sich in unsrer Vereinfachung als das Th. 50+) darstellt, und auf eben dieses Theorem läuft auch die in Rede stehende einheitliche Behandlung wieder wesentlich hinaus. In der Art aber, wie diese Zurückführung nun ausgeführt wird (an der noch die Boole’sche Disziplin scheiterte) wird man nicht umhin können, einen ganz erheblichen Fortschritt zu erblicken. Das Th. 50+) lehrte unter anderm, die Elimination eines Gebietes aus einer (in Bezug auf dasselbe linearen homogenen) Gleichung (mit der rechten Seite 0) zu vollziehen, und mögen wir uns den auf diese Elimination bezüglichen Teil des Satzes durch die Formel dargestellt: A0) (α β + γ β1 = 0)  (α γ = 0) in Erinnerung rufen. Mit Rücksicht auf Th. 24+) kann aber die Gleichung linkerhand zerfällt werden in das Produkt zweier Gleichungen, wonach die Formel äquivalent erscheint mit A1) (α β = 0) (β1 γ = 0)  (α γ = 0) und nach Th. 3̅8̅×) also auch mit: A) (α β = 0) (β1 γ = 0) (α γ ≠ 0) = 0. Diese „Inkonsistenz“ ist nun die Formel, welche alle gültigen Syllo- gismen in sich schliesst. Wirft man den dritten Faktor gemäss Th. 3̅8̅×) nach rechts, so kommt man auf die schon angegebene Subsumtion A1) zurück (die bei Vertauschung von α und γ nebst β und β1 ungeändert bleibt). *) So laut brieflicher Mitteilung seitens eines namhaften Gelehrten und Forschers an der Universität Cincinnati, auf Grund von dessen mir bekannter Zuverlässigkeit ich den Ausdruck gerne zu dem meinigen mache.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 228. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/252>, abgerufen am 23.11.2024.