wir etwa später anstatt der nach dem Schema ph), t) gebildeten viel- mehr die durch Zuzug der "Klausel" vervollständigten Resultanten in's Auge fassen werden.
Die Glieder der resultirenden und die der Prämissenaussage ent- sprechen nach dem Gesagten einander gegenseitig eindeutig und sollen die zugeordneten "korrespondirende" Glieder heissen. Jedes Glied der Konklusion ist die Resultante (der Elimination von x aus) zu seinem korrespondirenden Glied der Prämissenaussage.
In einem solchen Glied der Resultante, mithin bei dem Major von u), möge derjenige Faktor -- hier (a b = 0) -- welcher eine Gleichung ist, der "Boole'sche Faktor" genannt werden (und analog auch bei der Prämissenaussage). Derselbe kann natürlich auch, anstatt mecha- nisch nach dem gegebenen Schema, gewünschtenfalles unter Anwendung irgend welcher andern Methoden -- wie solche in der 14ten Vorlesung auseinandergesetzt -- sowie der raffinirtesten zur Vereinfachung der Arbeit ersinnbaren Kunstgriffe hergestellt werden.
Anscheinend verdient es im allgemeinen den Vorzug, den Boole- schen Faktor schon in den Prämissen rechts auf 1 -- statt wie oben auf 0 -- gebracht anzusetzen, für a x + b x1 = 0, also a1x + b1x1 = 1 zu nehmen, aus dem Grunde, weil man alsdann die Faktoren a1, b1 mit welchen die p, q, r, s, ... bei der Elimination des x zu multipliziren sein werden, schon als Koeffizienten vorgebildet findet, mithin sie nicht erst negando auszurechnen braucht.
Ersetzen wir die Bezeichnungen a1, b1 hernach durch die a, b, so erhält unser Theorem in der That die folgende eleganteste und zu- weilen auch bequemst anzuwendende Gestalt: ph) S (a x + b x1 = 1) (p x + q x1 0) (r x + s x1 0) ... S (a + b = 1) (p a + q b 0) (r a + s b 0) ... worin es auch erlaubt, sich die Summen eingliedrig zu denken, mithin die Summenzeichen wegzulassen.
Beim Operiren nach diesem Schema wird man jedoch behufs Her- stellung der "vereinigten" Boole'schen Gleichungen, anstatt des bisher gewohnten Theorems 24+), das Th. 24x) nämlich (a = 1) (b = 1) = (a b = 1) zum Vorbild nehmen, d. h. man wird die Polynome der zu vereinigenden Gleichungen jeweils miteinander multipliziren müssen, wo wir bisher summirten. Und da das Multipliziren nun, mit den oft noch unent- wickelten Aggregaten, welche als Polynome der Boole'schen Faktoren auftreten, so sehr viel unbequemer auszuführen ist, als wie das Ad- diren derselben, und diesem Unterschied gegenüber die Arbeit des Ne-
Neunzehnte Vorlesung.
wir etwa später anstatt der nach dem Schema φ), τ) gebildeten viel- mehr die durch Zuzug der „Klausel“ vervollständigten Resultanten in’s Auge fassen werden.
Die Glieder der resultirenden und die der Prämissenaussage ent- sprechen nach dem Gesagten einander gegenseitig eindeutig und sollen die zugeordneten „korrespondirende“ Glieder heissen. Jedes Glied der Konklusion ist die Resultante (der Elimination von x aus) zu seinem korrespondirenden Glied der Prämissenaussage.
In einem solchen Glied der Resultante, mithin bei dem Major von υ), möge derjenige Faktor — hier (a b = 0) — welcher eine Gleichung ist, der „Boole’sche Faktor“ genannt werden (und analog auch bei der Prämissenaussage). Derselbe kann natürlich auch, anstatt mecha- nisch nach dem gegebenen Schema, gewünschtenfalles unter Anwendung irgend welcher andern Methoden — wie solche in der 14ten Vorlesung auseinandergesetzt — sowie der raffinirtesten zur Vereinfachung der Arbeit ersinnbaren Kunstgriffe hergestellt werden.
Anscheinend verdient es im allgemeinen den Vorzug, den Boole- schen Faktor schon in den Prämissen rechts auf 1 — statt wie oben auf 0 — gebracht anzusetzen, für a x + b x1 = 0, also a1x + b1x1 = 1 zu nehmen, aus dem Grunde, weil man alsdann die Faktoren a1, b1 mit welchen die p, q, r, s, … bei der Elimination des x zu multipliziren sein werden, schon als Koeffizienten vorgebildet findet, mithin sie nicht erst negando auszurechnen braucht.
Ersetzen wir die Bezeichnungen a1, b1 hernach durch die a, b, so erhält unser Theorem in der That die folgende eleganteste und zu- weilen auch bequemst anzuwendende Gestalt: φ) Σ (a x + b x1 = 1) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) … ⊆ ⊆Σ (a + b = 1) (p a + q b ≠ 0) (r a + s b ≠ 0) … worin es auch erlaubt, sich die Summen eingliedrig zu denken, mithin die Summenzeichen wegzulassen.
Beim Operiren nach diesem Schema wird man jedoch behufs Her- stellung der „vereinigten“ Boole’schen Gleichungen, anstatt des bisher gewohnten Theorems 24+), das Th. 24×) nämlich (a = 1) (b = 1) = (a b = 1) zum Vorbild nehmen, d. h. man wird die Polynome der zu vereinigenden Gleichungen jeweils miteinander multipliziren müssen, wo wir bisher summirten. Und da das Multipliziren nun, mit den oft noch unent- wickelten Aggregaten, welche als Polynome der Boole’schen Faktoren auftreten, so sehr viel unbequemer auszuführen ist, als wie das Ad- diren derselben, und diesem Unterschied gegenüber die Arbeit des Ne-
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[212/0236]
Neunzehnte Vorlesung.
wir etwa später anstatt der nach dem Schema φ), τ) gebildeten viel-
mehr die durch Zuzug der „Klausel“ vervollständigten Resultanten in’s
Auge fassen werden.
Die Glieder der resultirenden und die der Prämissenaussage ent-
sprechen nach dem Gesagten einander gegenseitig eindeutig und sollen
die zugeordneten „korrespondirende“ Glieder heissen. Jedes Glied der
Konklusion ist die Resultante (der Elimination von x aus) zu seinem
korrespondirenden Glied der Prämissenaussage.
In einem solchen Glied der Resultante, mithin bei dem Major von
υ), möge derjenige Faktor — hier (a b = 0) — welcher eine Gleichung
ist, der „Boole’sche Faktor“ genannt werden (und analog auch bei
der Prämissenaussage). Derselbe kann natürlich auch, anstatt mecha-
nisch nach dem gegebenen Schema, gewünschtenfalles unter Anwendung
irgend welcher andern Methoden — wie solche in der 14ten Vorlesung
auseinandergesetzt — sowie der raffinirtesten zur Vereinfachung der
Arbeit ersinnbaren Kunstgriffe hergestellt werden.
Anscheinend verdient es im allgemeinen den Vorzug, den Boole-
schen Faktor schon in den Prämissen rechts auf 1 — statt wie oben
auf 0 — gebracht anzusetzen, für a x + b x1 = 0, also a1 x + b1 x1 = 1 zu
nehmen, aus dem Grunde, weil man alsdann die Faktoren a1, b1 mit
welchen die p, q, r, s, … bei der Elimination des x zu multipliziren
sein werden, schon als Koeffizienten vorgebildet findet, mithin sie nicht
erst negando auszurechnen braucht.
Ersetzen wir die Bezeichnungen a1, b1 hernach durch die a, b, so
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 Σ (a + b = 1) (p a + q b ≠ 0) (r a + s b ≠ 0) …
worin es auch erlaubt, sich die Summen eingliedrig zu denken, mithin
die Summenzeichen wegzulassen.
Beim Operiren nach diesem Schema wird man jedoch behufs Her-
stellung der „vereinigten“ Boole’schen Gleichungen, anstatt des bisher
gewohnten Theorems 24+), das Th. 24×) nämlich (a = 1) (b = 1) = (a b = 1)
zum Vorbild nehmen, d. h. man wird die Polynome der zu vereinigenden
Gleichungen jeweils miteinander multipliziren müssen, wo wir bisher
summirten. Und da das Multipliziren nun, mit den oft noch unent-
wickelten Aggregaten, welche als Polynome der Boole’schen Faktoren
auftreten, so sehr viel unbequemer auszuführen ist, als wie das Ad-
diren derselben, und diesem Unterschied gegenüber die Arbeit des Ne-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 212. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/236>, abgerufen am 24.11.2024.
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