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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 41. Das Eliminationsproblem allgemein gelöst (aus dem Rohen).
bar ist. Zu dem Ende braucht man z. B. nur a1 mit p und b1 mit q dis-
junkt zu denken, so wird der Major der Subsumtion p), das ist p + q 0
erfüllt sein können, während der Minor derselben: 0 + 0 0 dies nicht ist.

Die Subsumtion p) wird also zumeist als eine wirkliche Unterordnung
gelten; es wird die in r) gegebene Resultante wirklich weniger sagen, als
die in i), und unser erstes Ergebniss ist weitergehend, ist das umfassendere.
D. h. die eigentliche Lösung der Eliminationsaufgabe liefert jene allerdings
wunderbar einfache Radirmethode des Eliminirens schon bei dem vor-
liegenden Spezialproblem nicht mehr!

Wir können nunmehr ohne weiteres zu Lösung des allgemeinen
zu Anfang dieses Paragraphen charakterisirten Eliminationsproblemes
übergehen.

Die Resultante der Elimination des x aus der vereinigten Aus-
sage a) ist:
s)

S (a b = 0) (p a1 + q b1 0) (r a1 + s b1 0) .... = i
0

und dies beruht auf dem Satze*):
t)S (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 0) (r x + s x1 0) ....
S (a b = 0) (p a1 + q b1 0) (r a1 + s b1 0) ....,
in welchem die Glieder und deren Faktoren in den beiderseitigen
Summen einander genau entsprechen.

Der Satz wird leicht erhalten, indem man zunächst nach Th. 17x),
überschiebend multiplizirt die folgenden kraft des Theorems i) gel-
tenden Subsumtionen:
(a x + b x1 = 0) (p x + q x1 0) (a b = 0) (p a1 + q b1 0),
(a x + b x1 = 0) (r x + s x1 0) (a b = 0) (r a1 + s b1 0),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
wobei man links wie rechts den wiederholt auftretenden ersten Faktor
dem Tautologiegesetze 14x) entsprechend nur einmal schreiben wird.

Das Ergebniss:
u) (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 0) (r x + s x1 0) ...
(a b = 0) (p a1 + q b1 0) (r a1 + s b1 0) ...

*) Ich habe denselben in der mathematischen Sektion der deutschen Natur-
forscherversammlung in Strassburg i. E. 1885 mitgeteilt 6 -- zuvor auch schon in
dem von Clebsch gegründeten Karlsruher Mathematischen Kränzchen.
Einen merkwürdigen Beweis für diesen ohne die Herleitung publizirt ge-
wesenen Satz hat Herr Voigt1 gegeben, der, wenn er auch dem meinigen an
Einfachheit nachsteht, doch durch die ausserordentliche Verschiedenheit und Ori-
ginalität des Gedankengangs beachtenswert ist.
Schröder, Algebra der Logik. II. 14

§ 41. Das Eliminationsproblem allgemein gelöst (aus dem Rohen).
bar ist. Zu dem Ende braucht man z. B. nur a1 mit p und b1 mit q dis-
junkt zu denken, so wird der Major der Subsumtion π), das ist p + q ≠ 0
erfüllt sein können, während der Minor derselben: 0 + 0 ≠ 0 dies nicht ist.

Die Subsumtion π) wird also zumeist als eine wirkliche Unterordnung
gelten; es wird die in ϱ) gegebene Resultante wirklich weniger sagen, als
die in ι), und unser erstes Ergebniss ist weitergehend, ist das umfassendere.
D. h. die eigentliche Lösung der Eliminationsaufgabe liefert jene allerdings
wunderbar einfache Radirmethode des Eliminirens schon bei dem vor-
liegenden Spezialproblem nicht mehr!

Wir können nunmehr ohne weiteres zu Lösung des allgemeinen
zu Anfang dieses Paragraphen charakterisirten Eliminationsproblemes
übergehen.

Die Resultante der Elimination des x aus der vereinigten Aus-
sage α) ist:
σ)

Σ (a b = 0) (p a1 + q b1 ≠ 0) (r a1 + s b1 ≠ 0) .... = i
≠ 0

und dies beruht auf dem Satze*):
τ)Σ (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) .... ⊆
⊆ Σ (a b = 0) (p a1 + q b1 ≠ 0) (r a1 + s b1 ≠ 0) ....,
in welchem die Glieder und deren Faktoren in den beiderseitigen
Summen einander genau entsprechen.

Der Satz wird leicht erhalten, indem man zunächst nach Th. 1̅7̅×),
überschiebend multiplizirt die folgenden kraft des Theorems ι) gel-
tenden Subsumtionen:
(a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0) ⊆ (a b = 0) (p a1 + q b1 ≠ 0),
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
wobei man links wie rechts den wiederholt auftretenden ersten Faktor
dem Tautologiegesetze 1̅4̅×) entsprechend nur einmal schreiben wird.

Das Ergebniss:
υ) (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) … ⊆
⊆ (a b = 0) (p a1 + q b1 ≠ 0) (r a1 + s b1 ≠ 0) …

*) Ich habe denselben in der mathematischen Sektion der deutschen Natur-
forscherversammlung in Strassburg i. E. 1885 mitgeteilt 6 — zuvor auch schon in
dem von Clebsch gegründeten Karlsruher Mathematischen Kränzchen.
Einen merkwürdigen Beweis für diesen ohne die Herleitung publizirt ge-
wesenen Satz hat Herr Voigt1 gegeben, der, wenn er auch dem meinigen an
Einfachheit nachsteht, doch durch die ausserordentliche Verschiedenheit und Ori-
ginalität des Gedankengangs beachtenswert ist.
Schröder, Algebra der Logik. II. 14
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[209/0233] § 41. Das Eliminationsproblem allgemein gelöst (aus dem Rohen). bar ist. Zu dem Ende braucht man z. B. nur a1 mit p und b1 mit q dis- junkt zu denken, so wird der Major der Subsumtion π), das ist p + q ≠ 0 erfüllt sein können, während der Minor derselben: 0 + 0 ≠ 0 dies nicht ist. Die Subsumtion π) wird also zumeist als eine wirkliche Unterordnung gelten; es wird die in ϱ) gegebene Resultante wirklich weniger sagen, als die in ι), und unser erstes Ergebniss ist weitergehend, ist das umfassendere. D. h. die eigentliche Lösung der Eliminationsaufgabe liefert jene allerdings wunderbar einfache Radirmethode des Eliminirens schon bei dem vor- liegenden Spezialproblem nicht mehr! Wir können nunmehr ohne weiteres zu Lösung des allgemeinen zu Anfang dieses Paragraphen charakterisirten Eliminationsproblemes übergehen. Die Resultante der Elimination des x aus der vereinigten Aus- sage α) ist: σ) Σ (a b = 0) (p a1 + q b1 ≠ 0) (r a1 + s b1 ≠ 0) .... = i ≠ 0 und dies beruht auf dem Satze *): τ)Σ (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) ....   Σ (a b = 0) (p a1 + q b1 ≠ 0) (r a1 + s b1 ≠ 0) ...., in welchem die Glieder und deren Faktoren in den beiderseitigen Summen einander genau entsprechen. Der Satz wird leicht erhalten, indem man zunächst nach Th. 1̅7̅×), überschiebend multiplizirt die folgenden kraft des Theorems ι) gel- tenden Subsumtionen: (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0)  (a b = 0) (p a1 + q b1 ≠ 0), (a x + b x1 = 0) (r x + s x1 ≠ 0)  (a b = 0) (r a1 + s b1 ≠ 0), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . wobei man links wie rechts den wiederholt auftretenden ersten Faktor dem Tautologiegesetze 1̅4̅×) entsprechend nur einmal schreiben wird. Das Ergebniss: υ) (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) …   (a b = 0) (p a1 + q b1 ≠ 0) (r a1 + s b1 ≠ 0) … *) Ich habe denselben in der mathematischen Sektion der deutschen Natur- forscherversammlung in Strassburg i. E. 1885 mitgeteilt 6 — zuvor auch schon in dem von Clebsch gegründeten Karlsruher Mathematischen Kränzchen. Einen merkwürdigen Beweis für diesen ohne die Herleitung publizirt ge- wesenen Satz hat Herr Voigt1 gegeben, der, wenn er auch dem meinigen an Einfachheit nachsteht, doch durch die ausserordentliche Verschiedenheit und Ori- ginalität des Gedankengangs beachtenswert ist. Schröder, Algebra der Logik. II. 14

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 209. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/233>, abgerufen am 25.11.2024.