Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle. p + q 0die Eliminationsresultante sein muss. Behufs Beweises ist zunächst zu zeigen, dass die letztere in der Diesen Satz erhalten wir aber in der That, wenn wir die -- Es ist nun ferner auch die Vollständigkeit der gefundenen Resul- Dies lässt sich auf zwei Arten verwirklichen. Da (p + q 0) = (p 0) + (q 0) ist, so wird, wenn B er- Noch kürzer ist es, mit einem Schlage zu bemerken, dass unter Es sei an dem vorstehenden Beispiel nochmals zum Bewusstsein ge- Nachdem soeben gezeigt ist, dass es unter der Annahme B immer § 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle. p + q ≠ 0die Eliminationsresultante sein muss. Behufs Beweises ist zunächst zu zeigen, dass die letztere in der Diesen Satz erhalten wir aber in der That, wenn wir die — Es ist nun ferner auch die Vollständigkeit der gefundenen Resul- Dies lässt sich auf zwei Arten verwirklichen. Da (p + q ≠ 0) = (p ≠ 0) + (q ≠ 0) ist, so wird, wenn B er- Noch kürzer ist es, mit einem Schlage zu bemerken, dass unter Es sei an dem vorstehenden Beispiel nochmals zum Bewusstsein ge- Nachdem soeben gezeigt ist, dass es unter der Annahme B immer <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0225" n="201"/><fw place="top" type="header">§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle.</fw><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi> ≠ 0</hi><lb/> die Eliminationsresultante sein muss.</p><lb/> <p>Behufs <hi rendition="#g">Beweises</hi> ist zunächst zu zeigen, dass die letztere in der<lb/> That aus der Prämisse folgt, d. h. dass wirklich ist:<lb/><hi rendition="#i">γ</hi>) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">p x</hi> + <hi rendition="#i">q x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi> ≠ 0).</hi></p><lb/> <p>Diesen Satz erhalten wir aber in der That, wenn wir die —<lb/> nach der letzten Formel des Tableau’s § 40, <hi rendition="#i">α</hi>') S. 194 gültigen beiden<lb/> Propositionen:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">p x</hi> ≠ 0) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">p</hi> ≠ 0) und (<hi rendition="#i">q x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">q</hi> ≠ 0)</hi><lb/> gemäss Th. 1̅7̅<hi rendition="#sub">+</hi>) überschiebend addiren, und das Ergebniss dieser<lb/> Verknüpfung:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">p x</hi> ≠ 0) + (<hi rendition="#i">q x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">p</hi> ≠ 0) + (<hi rendition="#i">q</hi> ≠ 0)</hi><lb/> in die damit äquivalente Behauptung <hi rendition="#i">γ</hi>) — gemäss dem Schema<lb/> (<hi rendition="#i">a</hi> ≠ 0) + (<hi rendition="#i">b</hi> ≠ 0) = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> ≠ 0) des Tableau’s <hi rendition="#i">α</hi>) zu Anfang des § 40<lb/> — umschreiben.</p><lb/> <p>Es ist nun ferner auch die Vollständigkeit der gefundenen Resul-<lb/> tante <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi> ≠ 0) darzuthun. Zu dem Ende ist zu zeigen, dass<lb/> wenn diese Resultante <hi rendition="#i">B</hi> erfüllt ist, es immer ein die Prämisse<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">p x</hi> + <hi rendition="#i">q x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0)</hi><lb/> erfüllendes <hi rendition="#i">x</hi> geben wird.</p><lb/> <p>Dies lässt sich auf zwei Arten verwirklichen.</p><lb/> <p>Da (<hi rendition="#i">p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi> ≠ 0) = (<hi rendition="#i">p</hi> ≠ 0) + (<hi rendition="#i">q</hi> ≠ 0) ist, so wird, wenn <hi rendition="#i">B</hi> er-<lb/> füllt ist, entweder <hi rendition="#i">p</hi> ≠ 0 sein — in diesem Falle genügt die Annahme<lb/><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">p</hi> — oder es wird <hi rendition="#i">q</hi> ≠ 0 sein — alsdann genügt es <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">q</hi>, so-<lb/> mit <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> anzunehmen — um hinzubringen, dass die Relation <hi rendition="#i">A</hi> sich<lb/> denknotwendig erfülle.</p><lb/> <p>Noch kürzer ist es, mit einem Schlage zu bemerken, dass unter<lb/> der Voraussetzung <hi rendition="#i">B</hi> in Gestalt von<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, wofür <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">q</hi>,</hi><lb/> auf alle Fälle ein Gebiet <hi rendition="#i">x</hi> angebbar ist, welches die Relation <hi rendition="#i">A</hi> er-<lb/> füllt, indem dann eben <hi rendition="#i">p x</hi> + <hi rendition="#i">q x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi> selbst wird, mithin ≠ 0 ist.</p><lb/> <p>Es sei an dem vorstehenden Beispiel nochmals zum Bewusstsein ge-<lb/> bracht, was wir in § 21 bereits allgemein darlegten: was denn durch<lb/> solche Vollständigkeit der Resultante garantirt wird?</p><lb/> <p>Nachdem soeben gezeigt ist, dass es unter der Annahme <hi rendition="#i">B</hi> immer<lb/> ein die Relation <hi rendition="#i">A</hi> erfüllendes <hi rendition="#i">x</hi> gibt, während <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> war, ist klar, dass<lb/> ausser <hi rendition="#i">B</hi> keine weitere (unabhängige) Relation zwischen <hi rendition="#i">p</hi> und <hi rendition="#i">q</hi> (oder<lb/> auch nur Bedingung für eines dieser beiden Gebiete) mehr aus <hi rendition="#i">A</hi> folgen<lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [201/0225]
§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle.
p + q ≠ 0
die Eliminationsresultante sein muss.
Behufs Beweises ist zunächst zu zeigen, dass die letztere in der
That aus der Prämisse folgt, d. h. dass wirklich ist:
γ) (p x + q x1 ≠ 0)  (p + q ≠ 0).
Diesen Satz erhalten wir aber in der That, wenn wir die —
nach der letzten Formel des Tableau’s § 40, α') S. 194 gültigen beiden
Propositionen:
(p x ≠ 0)  (p ≠ 0) und (q x1 ≠ 0)  (q ≠ 0)
gemäss Th. 1̅7̅+) überschiebend addiren, und das Ergebniss dieser
Verknüpfung:
(p x ≠ 0) + (q x1 ≠ 0)  (p ≠ 0) + (q ≠ 0)
in die damit äquivalente Behauptung γ) — gemäss dem Schema
(a ≠ 0) + (b ≠ 0) = (a + b ≠ 0) des Tableau’s α) zu Anfang des § 40
— umschreiben.
Es ist nun ferner auch die Vollständigkeit der gefundenen Resul-
tante B = (p + q ≠ 0) darzuthun. Zu dem Ende ist zu zeigen, dass
wenn diese Resultante B erfüllt ist, es immer ein die Prämisse
A = (p x + q x1 ≠ 0)
erfüllendes x geben wird.
Dies lässt sich auf zwei Arten verwirklichen.
Da (p + q ≠ 0) = (p ≠ 0) + (q ≠ 0) ist, so wird, wenn B er-
füllt ist, entweder p ≠ 0 sein — in diesem Falle genügt die Annahme
x = p — oder es wird q ≠ 0 sein — alsdann genügt es x1 = q, so-
mit x = q1 anzunehmen — um hinzubringen, dass die Relation A sich
denknotwendig erfülle.
Noch kürzer ist es, mit einem Schlage zu bemerken, dass unter
der Voraussetzung B in Gestalt von
x = p + q1, wofür x1 = p1 q,
auf alle Fälle ein Gebiet x angebbar ist, welches die Relation A er-
füllt, indem dann eben p x + q x1 = p + q selbst wird, mithin ≠ 0 ist.
Es sei an dem vorstehenden Beispiel nochmals zum Bewusstsein ge-
bracht, was wir in § 21 bereits allgemein darlegten: was denn durch
solche Vollständigkeit der Resultante garantirt wird?
Nachdem soeben gezeigt ist, dass es unter der Annahme B immer
ein die Relation A erfüllendes x gibt, während A  B war, ist klar, dass
ausser B keine weitere (unabhängige) Relation zwischen p und q (oder
auch nur Bedingung für eines dieser beiden Gebiete) mehr aus A folgen
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 201. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/225>, abgerufen am 18.07.2024. |