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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 40. Umschau über noch zu lösende Probleme.
im Ganzen also weniger Symbole; dann haben wir ein reines Eli-
minationsproblem vor uns.

Sie kann auch enthalten: die sämtlichen im Prämissensystem vor-
kommenden Symbole und dazu noch einige mehr (welche dann, weil
im Prämissensystem unerwähnt gelassen, vollkommen unbestimmt oder
willkürlich bleiben werden). In diesem Falle lag ein reines Intro-
duktionsproblem vor.

Beispiele wurden unter a') soeben angeführt. Auch diese beiden
Probleme können zugleich reine Transformationsprobleme sein, wie z. B.
die Gleichung des Th. 40) oder Zusatz in § 29 zeigt, und andere mehr.
Liest man diese Gleichung als Subsumtion von links nach rechts, so leistet
sie die Elimination des c, liest man sie als Subsumtion von rechts nach
links, so introduzirt sie das beliebige c. Und da die durch beide Subsum-
tionen ausgedrückten Folgerungen umkehrbar sind, trifft das Kennzeichen
des Transformationsproblemes zu.

Endlich kann die Solution enthalten: nur einen Teil der im
Prämissensystem erscheinenden Symbole, dafür aber auch einige dem-
selben fremde. Alsdann ist das Problem von gemischtem Charakter:
ein Eliminationsproblem in Hinsicht auf die fehlenden und ein Intro-
duktionsproblem in Hinsicht auf die überzähligen Symbole.

Als einer der einfachsten Fälle von Elimination und Introduktion stellt
sich nach Peirce die Anwendung der Theoreme 6x) resp. 6+) im Aussagen-
kalkul dar: A B A und A A + B, indem diese lehren, dass man bei
gültigen Aussagen einen Faktor stets unterdrücken, einen Summanden nach
Belieben zufügen, anreihen darf.

Man wird hier die Lösung der Aufgabe wol in zwei Anläufe zer-
legen können, indem man durch einen besonderen Prozess die auszu-
merzenden Symbole eliminirt, durch einen zweiten die neu einzuführen-
den introduzirt. --

Unter einem der ersten Klasse angehörigen Probleme, bei welchem
also der Bestand an Symbolen unverändert zu bleiben hätte, kann man
sich, wofern dasselbe nicht als ein völlig unbestimmtes erscheinen
soll, nur*) ein Problem vorstellen, bei welchem über die Form der

*) Wir dachten uns unser Problem so gefasst, dass aus einer die Data zu-
sammenfassenden Gesamtaussage abzuleiten ist eine von ihr bedingte als die
Lösung hinzustellende Gesamtaussage. Probleme, deren Lösung einfach durch die
Antwort "Ja", oder "Nein", zu geben ist, würden als bestimmte "Fragen" zu be-
zeichnen sein, und könnten als Probleme der formalen Logik sich nur darum
drehen, ob aus einer gegebenen Aussagengruppe A eine andere gegebene B denk-
notwendig folgt, oder nicht.
Die Antwort würde hier dadurch herbeizuführen sein, dass man die Subsum-
tion A B zwischen den beiden Gesamtaussagen darauf hin untersuchte, ob sie

§ 40. Umschau über noch zu lösende Probleme.
im Ganzen also weniger Symbole; dann haben wir ein reines Eli-
minationsproblem vor uns.

Sie kann auch enthalten: die sämtlichen im Prämissensystem vor-
kommenden Symbole und dazu noch einige mehr (welche dann, weil
im Prämissensystem unerwähnt gelassen, vollkommen unbestimmt oder
willkürlich bleiben werden). In diesem Falle lag ein reines Intro-
duktionsproblem vor.

Beispiele wurden unter α') soeben angeführt. Auch diese beiden
Probleme können zugleich reine Transformationsprobleme sein, wie z. B.
die Gleichung des Th. 40) oder Zusatz in § 29 zeigt, und andere mehr.
Liest man diese Gleichung als Subsumtion von links nach rechts, so leistet
sie die Elimination des c, liest man sie als Subsumtion von rechts nach
links, so introduzirt sie das beliebige c. Und da die durch beide Subsum-
tionen ausgedrückten Folgerungen umkehrbar sind, trifft das Kennzeichen
des Transformationsproblemes zu.

Endlich kann die Solution enthalten: nur einen Teil der im
Prämissensystem erscheinenden Symbole, dafür aber auch einige dem-
selben fremde. Alsdann ist das Problem von gemischtem Charakter:
ein Eliminationsproblem in Hinsicht auf die fehlenden und ein Intro-
duktionsproblem in Hinsicht auf die überzähligen Symbole.

Als einer der einfachsten Fälle von Elimination und Introduktion stellt
sich nach Peirce die Anwendung der Theoreme 6×) resp. 6+) im Aussagen-
kalkul dar: A B ⊆ A und A ⊆ A + B, indem diese lehren, dass man bei
gültigen Aussagen einen Faktor stets unterdrücken, einen Summanden nach
Belieben zufügen, anreihen darf.

Man wird hier die Lösung der Aufgabe wol in zwei Anläufe zer-
legen können, indem man durch einen besonderen Prozess die auszu-
merzenden Symbole eliminirt, durch einen zweiten die neu einzuführen-
den introduzirt. —

Unter einem der ersten Klasse angehörigen Probleme, bei welchem
also der Bestand an Symbolen unverändert zu bleiben hätte, kann man
sich, wofern dasselbe nicht als ein völlig unbestimmtes erscheinen
soll, nur*) ein Problem vorstellen, bei welchem über die Form der

*) Wir dachten uns unser Problem so gefasst, dass aus einer die Data zu-
sammenfassenden Gesamtaussage abzuleiten ist eine von ihr bedingte als die
Lösung hinzustellende Gesamtaussage. Probleme, deren Lösung einfach durch die
Antwort „Ja“, oder „Nein“, zu geben ist, würden als bestimmte „Fragen“ zu be-
zeichnen sein, und könnten als Probleme der formalen Logik sich nur darum
drehen, ob aus einer gegebenen Aussagengruppe Α eine andere gegebene Β denk-
notwendig folgt, oder nicht.
Die Antwort würde hier dadurch herbeizuführen sein, dass man die Subsum-
tion Α ⊆ Β zwischen den beiden Gesamtaussagen darauf hin untersuchte, ob sie
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[197/0221] § 40. Umschau über noch zu lösende Probleme. im Ganzen also weniger Symbole; dann haben wir ein reines Eli- minationsproblem vor uns. Sie kann auch enthalten: die sämtlichen im Prämissensystem vor- kommenden Symbole und dazu noch einige mehr (welche dann, weil im Prämissensystem unerwähnt gelassen, vollkommen unbestimmt oder willkürlich bleiben werden). In diesem Falle lag ein reines Intro- duktionsproblem vor. Beispiele wurden unter α') soeben angeführt. Auch diese beiden Probleme können zugleich reine Transformationsprobleme sein, wie z. B. die Gleichung des Th. 40) oder Zusatz in § 29 zeigt, und andere mehr. Liest man diese Gleichung als Subsumtion von links nach rechts, so leistet sie die Elimination des c, liest man sie als Subsumtion von rechts nach links, so introduzirt sie das beliebige c. Und da die durch beide Subsum- tionen ausgedrückten Folgerungen umkehrbar sind, trifft das Kennzeichen des Transformationsproblemes zu. Endlich kann die Solution enthalten: nur einen Teil der im Prämissensystem erscheinenden Symbole, dafür aber auch einige dem- selben fremde. Alsdann ist das Problem von gemischtem Charakter: ein Eliminationsproblem in Hinsicht auf die fehlenden und ein Intro- duktionsproblem in Hinsicht auf die überzähligen Symbole. Als einer der einfachsten Fälle von Elimination und Introduktion stellt sich nach Peirce die Anwendung der Theoreme 6×) resp. 6+) im Aussagen- kalkul dar: A B  A und A  A + B, indem diese lehren, dass man bei gültigen Aussagen einen Faktor stets unterdrücken, einen Summanden nach Belieben zufügen, anreihen darf. Man wird hier die Lösung der Aufgabe wol in zwei Anläufe zer- legen können, indem man durch einen besonderen Prozess die auszu- merzenden Symbole eliminirt, durch einen zweiten die neu einzuführen- den introduzirt. — Unter einem der ersten Klasse angehörigen Probleme, bei welchem also der Bestand an Symbolen unverändert zu bleiben hätte, kann man sich, wofern dasselbe nicht als ein völlig unbestimmtes erscheinen soll, nur *) ein Problem vorstellen, bei welchem über die Form der *) Wir dachten uns unser Problem so gefasst, dass aus einer die Data zu- sammenfassenden Gesamtaussage abzuleiten ist eine von ihr bedingte als die Lösung hinzustellende Gesamtaussage. Probleme, deren Lösung einfach durch die Antwort „Ja“, oder „Nein“, zu geben ist, würden als bestimmte „Fragen“ zu be- zeichnen sein, und könnten als Probleme der formalen Logik sich nur darum drehen, ob aus einer gegebenen Aussagengruppe Α eine andere gegebene Β denk- notwendig folgt, oder nicht. Die Antwort würde hier dadurch herbeizuführen sein, dass man die Subsum- tion Α  Β zwischen den beiden Gesamtaussagen darauf hin untersuchte, ob sie

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 197. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/221>, abgerufen am 26.11.2024.