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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Neunzehnte Vorlesung.
System von mehreren solchen x, y, z, ... die Idee dieser beiden Pro-
bleme auch allgemein erfassen, dieselbe für ein ganz beliebiges Prä-
missensystem konzipiren. Während wir für das Eliminationsproblem
dies bereits früher gethan haben, ist die Idee des Introduktionspro-
blems hier neu aufgetaucht, und müssen wir diesem noch einige
Worte widmen.

Gleichwie die Data eines gedachten beliebigen Problemes sich
mit dem Kapital oder Vorrat an Zeichen, über welche der Kalkul ver-
fügt, stets zu einer Gesamtaussage vereinigt denken und auch wirklich
vereinigen liessen, so muss dies auch der Fall sein mit den verlangten
Lösungen des Problemes, mit dessen "Solution", welche zu bezeichnen
ist als eine Konklusion, die sich entreissen lässt den zu Prämissen
genommenen Daten. Auch sie wird mittelst der Wortsprache darstell-
bar sein durch eine Verkettung, ein System von Urteilen. Auch für
die Solution gibt es eine Gesamtaussage.

Vergleichen wir nun die vereinigte Aussage der Lösung mit der-
jenigen der Data des Problemes in Hinsicht auf die Buchstabensym-
bole, die in der einen und in der andern vorkommen, so ist eine
Mannigfaltigkeit von Fällen denkbar und können die denkbaren auch
wirklich vorkommen:

Die Lösung kann genau dieselben Symbole enthalten, wie das
Prämissensystem -- keine mehr und keine weniger. Wir haben dann
weder ein Eliminations- noch ein Introduktionsproblem vor uns, sondern
ein "reines" Problem des Folgerns. Dasselbe kann noch umkehrbar sein
oder auch nicht. Im erstern Falle, wo aus dem Lösungensystem auch
wieder das System der Data, aus der vereinigten Aussage der Lösung
die Gesamtaussage der Daten folgt, mag man es als ein blosses Trans-
formationsproblem bezeichnen.

Einfachste Exempel zu diesem und dem andern Falle stellen vor:
der Schluss von a = b auf b = a, sowie der von a = b auf a b. Es
steht nichts im Wege, dass man, diese Schlüsse oder Folgerungen zu ziehen,
als ein Problem hinstelle -- das eine als die Aufgabe: wenn a = b ist,
die Frage zu beantworten, wem b gleich sein müsse?, das andre als die
Aufgabe: unter derselben Voraussetzung eine Subsumtion anzugeben, welche
zwischen a und b besteht.

So ist auch noch der Schluss von a = b auf a b1 + a1 b = 0 ein Trans-
formationsproblem zu nennen, sobald man, denselben zu ziehen, formulirt
als die Aufgabe: die rechte Seite der gegebenen Gleichung auf 0 zu bringen.
Und dergleichen mehr.

Die Lösung kann ferner zu enthalten haben: nur einen Teil der
im Prämissensystem auftretenden Symbole und keine demselben fremden

Neunzehnte Vorlesung.
System von mehreren solchen x, y, z, … die Idee dieser beiden Pro-
bleme auch allgemein erfassen, dieselbe für ein ganz beliebiges Prä-
missensystem konzipiren. Während wir für das Eliminationsproblem
dies bereits früher gethan haben, ist die Idee des Introduktionspro-
blems hier neu aufgetaucht, und müssen wir diesem noch einige
Worte widmen.

Gleichwie die Data eines gedachten beliebigen Problemes sich
mit dem Kapital oder Vorrat an Zeichen, über welche der Kalkul ver-
fügt, stets zu einer Gesamtaussage vereinigt denken und auch wirklich
vereinigen liessen, so muss dies auch der Fall sein mit den verlangten
Lösungen des Problemes, mit dessen „Solution“, welche zu bezeichnen
ist als eine Konklusion, die sich entreissen lässt den zu Prämissen
genommenen Daten. Auch sie wird mittelst der Wortsprache darstell-
bar sein durch eine Verkettung, ein System von Urteilen. Auch für
die Solution gibt es eine Gesamtaussage.

Vergleichen wir nun die vereinigte Aussage der Lösung mit der-
jenigen der Data des Problemes in Hinsicht auf die Buchstabensym-
bole, die in der einen und in der andern vorkommen, so ist eine
Mannigfaltigkeit von Fällen denkbar und können die denkbaren auch
wirklich vorkommen:

Die Lösung kann genau dieselben Symbole enthalten, wie das
Prämissensystem — keine mehr und keine weniger. Wir haben dann
weder ein Eliminations- noch ein Introduktionsproblem vor uns, sondern
ein „reines“ Problem des Folgerns. Dasselbe kann noch umkehrbar sein
oder auch nicht. Im erstern Falle, wo aus dem Lösungensystem auch
wieder das System der Data, aus der vereinigten Aussage der Lösung
die Gesamtaussage der Daten folgt, mag man es als ein blosses Trans-
formationsproblem bezeichnen.

Einfachste Exempel zu diesem und dem andern Falle stellen vor:
der Schluss von a = b auf b = a, sowie der von a = b auf a ⊆ b. Es
steht nichts im Wege, dass man, diese Schlüsse oder Folgerungen zu ziehen,
als ein Problem hinstelle — das eine als die Aufgabe: wenn a = b ist,
die Frage zu beantworten, wem b gleich sein müsse?, das andre als die
Aufgabe: unter derselben Voraussetzung eine Subsumtion anzugeben, welche
zwischen a und b besteht.

So ist auch noch der Schluss von a = b auf a b1 + a1 b = 0 ein Trans-
formationsproblem zu nennen, sobald man, denselben zu ziehen, formulirt
als die Aufgabe: die rechte Seite der gegebenen Gleichung auf 0 zu bringen.
Und dergleichen mehr.

Die Lösung kann ferner zu enthalten haben: nur einen Teil der
im Prämissensystem auftretenden Symbole und keine demselben fremden

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[196/0220] Neunzehnte Vorlesung. System von mehreren solchen x, y, z, … die Idee dieser beiden Pro- bleme auch allgemein erfassen, dieselbe für ein ganz beliebiges Prä- missensystem konzipiren. Während wir für das Eliminationsproblem dies bereits früher gethan haben, ist die Idee des Introduktionspro- blems hier neu aufgetaucht, und müssen wir diesem noch einige Worte widmen. Gleichwie die Data eines gedachten beliebigen Problemes sich mit dem Kapital oder Vorrat an Zeichen, über welche der Kalkul ver- fügt, stets zu einer Gesamtaussage vereinigt denken und auch wirklich vereinigen liessen, so muss dies auch der Fall sein mit den verlangten Lösungen des Problemes, mit dessen „Solution“, welche zu bezeichnen ist als eine Konklusion, die sich entreissen lässt den zu Prämissen genommenen Daten. Auch sie wird mittelst der Wortsprache darstell- bar sein durch eine Verkettung, ein System von Urteilen. Auch für die Solution gibt es eine Gesamtaussage. Vergleichen wir nun die vereinigte Aussage der Lösung mit der- jenigen der Data des Problemes in Hinsicht auf die Buchstabensym- bole, die in der einen und in der andern vorkommen, so ist eine Mannigfaltigkeit von Fällen denkbar und können die denkbaren auch wirklich vorkommen: Die Lösung kann genau dieselben Symbole enthalten, wie das Prämissensystem — keine mehr und keine weniger. Wir haben dann weder ein Eliminations- noch ein Introduktionsproblem vor uns, sondern ein „reines“ Problem des Folgerns. Dasselbe kann noch umkehrbar sein oder auch nicht. Im erstern Falle, wo aus dem Lösungensystem auch wieder das System der Data, aus der vereinigten Aussage der Lösung die Gesamtaussage der Daten folgt, mag man es als ein blosses Trans- formationsproblem bezeichnen. Einfachste Exempel zu diesem und dem andern Falle stellen vor: der Schluss von a = b auf b = a, sowie der von a = b auf a  b. Es steht nichts im Wege, dass man, diese Schlüsse oder Folgerungen zu ziehen, als ein Problem hinstelle — das eine als die Aufgabe: wenn a = b ist, die Frage zu beantworten, wem b gleich sein müsse?, das andre als die Aufgabe: unter derselben Voraussetzung eine Subsumtion anzugeben, welche zwischen a und b besteht. So ist auch noch der Schluss von a = b auf a b1 + a1 b = 0 ein Trans- formationsproblem zu nennen, sobald man, denselben zu ziehen, formulirt als die Aufgabe: die rechte Seite der gegebenen Gleichung auf 0 zu bringen. Und dergleichen mehr. Die Lösung kann ferner zu enthalten haben: nur einen Teil der im Prämissensystem auftretenden Symbole und keine demselben fremden

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 196. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/220>, abgerufen am 26.11.2024.