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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Neunzehnte Vorlesung.
doch ist der Schluss nicht umkehrbar, indem, wie wir wissen, ein
Produkt a b auch verschwinden kann, ohne dass einer seiner Faktoren
0 wird -- welche vielmehr nur disjunkt zu sein brauchen. Aus der
dritten Formel geht die vierte wiederum durch Kontraposition gemäss
Th. 37) und 36+) hervor.

Von zweien sind die sämtlichen Sätze a) leicht auf beliebig viele
Operationsglieder auszudehnen, wofür sie lauten:
b) [Formel 1] ,
und wo die Summen- und Produktenzeichen sich über eine beliebige
Reihe von Gebietsymbolen a, a', a'', ... erstrecken -- nur: in einer
jeden Formel beiderseits über die nämliche Reihe.

Eine Gleichung kann man sich jederzeit rechts auf 0 gebracht
denken, oder auch, wenn man will, auf 1. Dasselbe gilt darnach auch
von einer Ungleichung. Vergl. die Theoreme 39) und 32). Nach
letzterem, wenn z. B. (a = b) = (a b1 + a1 b = 0) ist, muss ja auch:
(a b) = (a b1 + a1 b 0) sein, etc.

Mit Rücksicht hierauf können wir nun sagen, dass die Theoreme
der ersten Zeile von a) oder b) lehren: Ein Produkt von Gleichungen
und eine Summe von Ungleichungen kann stets in eine einzige Gleichung
resp. Ungleichung (in eine Proposition der nämlichen Art) zusammen-
gezogen und durch diese ausreichend vertreten werden. Wir könnten
passend auch den Ausdruck wählen: eine "Konjunktion" von Glei-
chungen und eine "Disjunktion" von Ungleichungen.

Sind die Gleichungen resp. Ungleichungen etwa Voraussetzungen
eines Theorems oder Problems, Data, Prämissen, so wird das Produkt
(wie bekannt) ein System von simultan geltenden, koexistirenden, gleich-
zeitig zu adoptirenden, die Summe aber ein System von alternativ
geltenden Annahmen ausdrücken -- das Wort "alternativ" in dem
schon wiederholt erläuterten Sinne genommen. [Und ähnlich auch,
falls jene Behauptungen vorstellten.]

Also: simultane Gleichungen sowie alternative Ungleichungen lassen
je zu einer einzigen Relation derselben Sorte sich zusammenziehen.

Das Umgekehrte dagegen scheint nicht möglich zu sein.

Eine Summe von Gleichungen (alternative Gleichungen) oder ein
Produkt von Ungleichungen (simultane Ungleichungen) gestatten zwar
nach den Formeln der zweiten Zeile von a) oder b) einen Schluss

Neunzehnte Vorlesung.
doch ist der Schluss nicht umkehrbar, indem, wie wir wissen, ein
Produkt a b auch verschwinden kann, ohne dass einer seiner Faktoren
0 wird — welche vielmehr nur disjunkt zu sein brauchen. Aus der
dritten Formel geht die vierte wiederum durch Kontraposition gemäss
Th. 3̅7̅) und 3̅6̅+) hervor.

Von zweien sind die sämtlichen Sätze α) leicht auf beliebig viele
Operationsglieder auszudehnen, wofür sie lauten:
β) [Formel 1] ,
und wo die Summen- und Produktenzeichen sich über eine beliebige
Reihe von Gebietsymbolen a, a', a'', … erstrecken — nur: in einer
jeden Formel beiderseits über die nämliche Reihe.

Eine Gleichung kann man sich jederzeit rechts auf 0 gebracht
denken, oder auch, wenn man will, auf 1. Dasselbe gilt darnach auch
von einer Ungleichung. Vergl. die Theoreme 39) und 3̅2̅). Nach
letzterem, wenn z. B. (a = b) = (a b1 + a1 b = 0) ist, muss ja auch:
(a ≠ b) = (a b1 + a1 b ≠ 0) sein, etc.

Mit Rücksicht hierauf können wir nun sagen, dass die Theoreme
der ersten Zeile von α) oder β) lehren: Ein Produkt von Gleichungen
und eine Summe von Ungleichungen kann stets in eine einzige Gleichung
resp. Ungleichung (in eine Proposition der nämlichen Art) zusammen-
gezogen und durch diese ausreichend vertreten werden. Wir könnten
passend auch den Ausdruck wählen: eine „Konjunktion“ von Glei-
chungen und eine „Disjunktion“ von Ungleichungen.

Sind die Gleichungen resp. Ungleichungen etwa Voraussetzungen
eines Theorems oder Problems, Data, Prämissen, so wird das Produkt
(wie bekannt) ein System von simultan geltenden, koëxistirenden, gleich-
zeitig zu adoptirenden, die Summe aber ein System von alternativ
geltenden Annahmen ausdrücken — das Wort „alternativ“ in dem
schon wiederholt erläuterten Sinne genommen. [Und ähnlich auch,
falls jene Behauptungen vorstellten.]

Also: simultane Gleichungen sowie alternative Ungleichungen lassen
je zu einer einzigen Relation derselben Sorte sich zusammenziehen.

Das Umgekehrte dagegen scheint nicht möglich zu sein.

Eine Summe von Gleichungen (alternative Gleichungen) oder ein
Produkt von Ungleichungen (simultane Ungleichungen) gestatten zwar
nach den Formeln der zweiten Zeile von α) oder β) einen Schluss

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[180/0204] Neunzehnte Vorlesung. doch ist der Schluss nicht umkehrbar, indem, wie wir wissen, ein Produkt a b auch verschwinden kann, ohne dass einer seiner Faktoren 0 wird — welche vielmehr nur disjunkt zu sein brauchen. Aus der dritten Formel geht die vierte wiederum durch Kontraposition gemäss Th. 3̅7̅) und 3̅6̅+) hervor. Von zweien sind die sämtlichen Sätze α) leicht auf beliebig viele Operationsglieder auszudehnen, wofür sie lauten: β) [FORMEL], und wo die Summen- und Produktenzeichen sich über eine beliebige Reihe von Gebietsymbolen a, a', a'', … erstrecken — nur: in einer jeden Formel beiderseits über die nämliche Reihe. Eine Gleichung kann man sich jederzeit rechts auf 0 gebracht denken, oder auch, wenn man will, auf 1. Dasselbe gilt darnach auch von einer Ungleichung. Vergl. die Theoreme 39) und 3̅2̅). Nach letzterem, wenn z. B. (a = b) = (a b1 + a1 b = 0) ist, muss ja auch: (a ≠ b) = (a b1 + a1 b ≠ 0) sein, etc. Mit Rücksicht hierauf können wir nun sagen, dass die Theoreme der ersten Zeile von α) oder β) lehren: Ein Produkt von Gleichungen und eine Summe von Ungleichungen kann stets in eine einzige Gleichung resp. Ungleichung (in eine Proposition der nämlichen Art) zusammen- gezogen und durch diese ausreichend vertreten werden. Wir könnten passend auch den Ausdruck wählen: eine „Konjunktion“ von Glei- chungen und eine „Disjunktion“ von Ungleichungen. Sind die Gleichungen resp. Ungleichungen etwa Voraussetzungen eines Theorems oder Problems, Data, Prämissen, so wird das Produkt (wie bekannt) ein System von simultan geltenden, koëxistirenden, gleich- zeitig zu adoptirenden, die Summe aber ein System von alternativ geltenden Annahmen ausdrücken — das Wort „alternativ“ in dem schon wiederholt erläuterten Sinne genommen. [Und ähnlich auch, falls jene Behauptungen vorstellten.] Also: simultane Gleichungen sowie alternative Ungleichungen lassen je zu einer einzigen Relation derselben Sorte sich zusammenziehen. Das Umgekehrte dagegen scheint nicht möglich zu sein. Eine Summe von Gleichungen (alternative Gleichungen) oder ein Produkt von Ungleichungen (simultane Ungleichungen) gestatten zwar nach den Formeln der zweiten Zeile von α) oder β) einen Schluss

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 180. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/204>, abgerufen am 28.11.2024.