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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.
die Koeffizienten 0 und 1, mit denen behaftet sie in der Entwickelung
unsres Aussagenpolynoms F auftreten, jeweils zu einer fünfzehnstelligen
dyadischen Systemzahl zusammenstellen, und würden so alle 215 = 32 768
überhaupt denkbaren Aussagen eine bestimmte Reihenfolge erhalten, wobei
die erste derselben mit der Nummer 000 ... 00, als absurde, unzulässig,
die letzte 111 ... 11, als identische, selbstverständlich zu nennen wäre --
wie dies schon Herr Franklin1 bemerkte.

Auf diese Weise würde ihre Mannigfaltigkeit sich aber doch bei
weitem nicht so gut übersehen lassen, als bei unsrer früheren Anordnung
derselben. --

Zum Schluss dieser Betrachtung noch ein paar Bemerkungen.

Von Interesse ist noch die Frage nach Zahl und Art der Typen, in
welche unsre 32 767 Aussagen sich einordnen.

Vom Typus einer solchen kann man in zweierlei Hinsicht reden:
"aussagenrechnerisch" indem man gleichen Typus allen den Aussagen zu-
schreibt, welche durch Vertauschungen unter den acht De Morgan'schen
Urteilen a, b, .. l1 in einander übergeführt werden können. [Diese Frage,
die vom geringeren Interesse, dürfte unschwer im Anschluss an Clifford's
Untersuchungsergebnisse in Bd. 1, Anhang 6 zu beantworten sein.] Zweitens
"klassenrechnerisch", indem man zum selben Typus nur diejenigen Aus-
sagen zählt, welche durch Vertauschungen unter den Klassensymbolen A,
B, A1, B1 in einander überführbar sind. Hiernach müssten schon a1, b1,
c1, l1 als partikulare Urteile unter einem ganz andern Typus rangiren als
wie die universalen a, b, c, l.

Vor allem wäre hier in Rücksicht zu ziehen, dass die folgenden fünf
Systeme von Vertauschungen "gestattet" erscheinen, nämlich die ganze
Aussagengruppe nur in sich selbst transformiren:

1)(A, A1) (a, b) (c, l)4)(A, B) (b, c)
(a1, b1) (c1, l1)(A1, B1) (b1, c1)
2)(B, B1) (a, c) (b, l)5)(A, B1) (a, l)
(a1, c1) (b1, l1)(B, A1) (a1, l1)
3)(A, A1) (B, B1) (a, l) (b, c)
(a1, l1) (b1, c1)

Darnach wäre leicht darzuthun, dass z. B. bei einer "Aushebung" (die
bei Clifford den einen Typus der monomischen Aussage lieferte) sich be-
reits fünferlei Typen mit 4 + (4 + 2) + 4 + 1 = 15 Formen ergeben, die
wir je in einer Zeile zusammenstellen:

1. Typ.a1 b c l, a b1 c l, a b c1 l, a b c l1;
2. Typ.a1 b1 c l, a1 b c1 l, a b1 c l1, a b c1 l1;
3. Typ.a1 b c l1, a b1 c1 l;
4. Typ.a b1 c1 l1, a1 b c1 l1, a1 b1 c l1, a1 b1 c1 l;
5. Typ.a1 b1 c1 l1.

Achtzehnte Vorlesung.
die Koeffizienten 0 und 1, mit denen behaftet sie in der Entwickelung
unsres Aussagenpolynoms F auftreten, jeweils zu einer fünfzehnstelligen
dyadischen Systemzahl zusammenstellen, und würden so alle 215 = 32 768
überhaupt denkbaren Aussagen eine bestimmte Reihenfolge erhalten, wobei
die erste derselben mit der Nummer 0̅0̅0̅ …̅ 0̅0̅, als absurde, unzulässig,
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wie dies schon Herr Franklin1 bemerkte.

Auf diese Weise würde ihre Mannigfaltigkeit sich aber doch bei
weitem nicht so gut übersehen lassen, als bei unsrer früheren Anordnung
derselben. —

Zum Schluss dieser Betrachtung noch ein paar Bemerkungen.

Von Interesse ist noch die Frage nach Zahl und Art der Typen, in
welche unsre 32 767 Aussagen sich einordnen.

Vom Typus einer solchen kann man in zweierlei Hinsicht reden:
„aussagenrechnerisch“ indem man gleichen Typus allen den Aussagen zu-
schreibt, welche durch Vertauschungen unter den acht De Morgan’schen
Urteilen a, b, ‥ l1 in einander übergeführt werden können. [Diese Frage,
die vom geringeren Interesse, dürfte unschwer im Anschluss an Clifford’s
Untersuchungsergebnisse in Bd. 1, Anhang 6 zu beantworten sein.] Zweitens
„klassenrechnerisch“, indem man zum selben Typus nur diejenigen Aus-
sagen zählt, welche durch Vertauschungen unter den Klassensymbolen A,
B, A1, B1 in einander überführbar sind. Hiernach müssten schon a1, b1,
c1, l1 als partikulare Urteile unter einem ganz andern Typus rangiren als
wie die universalen a, b, c, l.

Vor allem wäre hier in Rücksicht zu ziehen, dass die folgenden fünf
Systeme von Vertauschungen „gestattet“ erscheinen, nämlich die ganze
Aussagengruppe nur in sich selbst transformiren:

1)(A, A1) (a, b) (c, l)4)(A, B) (b, c)
(a1, b1) (c1, l1)(A1, B1) (b1, c1)
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3)(A, A1) (B, B1) (a, l) (b, c)
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Darnach wäre leicht darzuthun, dass z. B. bei einer „Aushebung“ (die
bei Clifford den einen Typus der monomischen Aussage lieferte) sich be-
reits fünferlei Typen mit 4 + (4 + 2) + 4 + 1 = 15 Formen ergeben, die
wir je in einer Zeile zusammenstellen:

1. Typ.a1 b c l, a b1 c l, a b c1 l, a b c l1;
2. Typ.a1 b1 c l, a1 b c1 l, a b1 c l1, a b c1 l1;
3. Typ.a1 b c l1, a b1 c1 l;
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[174/0198] Achtzehnte Vorlesung. die Koeffizienten 0 und 1, mit denen behaftet sie in der Entwickelung unsres Aussagenpolynoms F auftreten, jeweils zu einer fünfzehnstelligen dyadischen Systemzahl zusammenstellen, und würden so alle 215 = 32 768 überhaupt denkbaren Aussagen eine bestimmte Reihenfolge erhalten, wobei die erste derselben mit der Nummer 0̅0̅0̅ …̅ 0̅0̅, als absurde, unzulässig, die letzte 1̅1̅1̅ …̅ 1̅1̅, als identische, selbstverständlich zu nennen wäre — wie dies schon Herr Franklin1 bemerkte. Auf diese Weise würde ihre Mannigfaltigkeit sich aber doch bei weitem nicht so gut übersehen lassen, als bei unsrer früheren Anordnung derselben. — Zum Schluss dieser Betrachtung noch ein paar Bemerkungen. Von Interesse ist noch die Frage nach Zahl und Art der Typen, in welche unsre 32 767 Aussagen sich einordnen. Vom Typus einer solchen kann man in zweierlei Hinsicht reden: „aussagenrechnerisch“ indem man gleichen Typus allen den Aussagen zu- schreibt, welche durch Vertauschungen unter den acht De Morgan’schen Urteilen a, b, ‥ l1 in einander übergeführt werden können. [Diese Frage, die vom geringeren Interesse, dürfte unschwer im Anschluss an Clifford’s Untersuchungsergebnisse in Bd. 1, Anhang 6 zu beantworten sein.] Zweitens „klassenrechnerisch“, indem man zum selben Typus nur diejenigen Aus- sagen zählt, welche durch Vertauschungen unter den Klassensymbolen A, B, A1, B1 in einander überführbar sind. Hiernach müssten schon a1, b1, c1, l1 als partikulare Urteile unter einem ganz andern Typus rangiren als wie die universalen a, b, c, l. Vor allem wäre hier in Rücksicht zu ziehen, dass die folgenden fünf Systeme von Vertauschungen „gestattet“ erscheinen, nämlich die ganze Aussagengruppe nur in sich selbst transformiren: 1) (A, A1) (a, b) (c, l) 4) (A, B) (b, c) (a1, b1) (c1, l1) (A1, B1) (b1, c1) 2) (B, B1) (a, c) (b, l) 5) (A, B1) (a, l) (a1, c1) (b1, l1) (B, A1) (a1, l1) 3) (A, A1) (B, B1) (a, l) (b, c) (a1, l1) (b1, c1) Darnach wäre leicht darzuthun, dass z. B. bei einer „Aushebung“ (die bei Clifford den einen Typus der monomischen Aussage lieferte) sich be- reits fünferlei Typen mit 4 + (4 + 2) + 4 + 1 = 15 Formen ergeben, die wir je in einer Zeile zusammenstellen: 1. Typ. a1 b c l, a b1 c l, a b c1 l, a b c l1; 2. Typ. a1 b1 c l, a1 b c1 l, a b1 c l1, a b c1 l1; 3. Typ. a1 b c l1, a b1 c1 l; 4. Typ. a b1 c1 l1, a1 b c1 l1, a1 b1 c l1, a1 b1 c1 l; 5. Typ. a1 b1 c1 l1.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 174. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/198>, abgerufen am 25.11.2024.