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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen.
welche übrigens sämtlich nur als Umschreibungen der ersten un-
mittelbar einleuchtenden Inkonsistenz nämlich (A = 0) (A = 1) = 0
erscheinen.

Von vornherein, nämlich sofern Erwähnung jeder andern Klasse
neben A ausgeschlossen, verboten ist, lassen sich als "primitive"
Urteile über A offenbar nur solche Aussagen hinstellen, in welchen
behauptet erscheint, dass A (oder A1) gleich, oder ungleich, 0 oder 1
ist. Und aus diesen (scheinbar 8, wirklich 4) primitiven müssen alle
erdenklichen Aussagen sich mittelst der drei Spezies des Aussagen-
kalkuls alsdann zusammensetzen. Damit treten aber, wie erkannt, zu
ihnen nur noch zweie ausser der nichtssagenden oder identischen Aus-
sage i hinzu, und ist die Peano'sche Zahl erwiesen.

Die vier primitiven Aussagen h, m, h1, m1 würden in Worten sich
etwa wie folgt darstellen:

h = (A = 0) = Es gibt keine A = Nichts ist A;
m = (A = 1) = Es gibt nichts, was nicht A wäre = Alles ist A;
h1 = (A 0) = Es gibt A = Etwas (Einiges) ist A;
m1 = (A 1) = Es gibt Nicht-A's = Nicht alles ist A = Etwas ist nicht A.

Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile h1 m1
und h + m in Worte zu kleiden.

Von jenen vier primitiven Aussagen sind aber zweie die Negation
der beiden andern. Jede Aussage über A allein kann also nur eine
Funktion im identischen Kalkul f (h, m) dieser beiden Argumente sein,
und lässt sich nach diesen entwickelt annehmen.

Die Gesamtheit i aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten
h, m entwickelt zerfällt aber nur in die drei Konstituenten:
i = h m1 + h1 m + h1 m1
sintemal h m = 0 sein, der erste Konstituent des allgemeinen Entwicke-
lungsschema's also verschwinden muss.

Von diesen drei Konstituenten (wo die 3 augenscheinlich entstand
aus 22 -- 1) kann in unsrer Entwickelung von f (h, m) ein jeder nur
entweder mit dem Koeffizienten 0 oder aber mit dem i auftreten.
Somit erhalten wir
2 x 2 x 2 = 23 = 8
Möglichkeiten. Von diesen ist jedoch die eine auszuschliessen, bei
welcher alle drei Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet

§ 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen.
welche übrigens sämtlich nur als Umschreibungen der ersten un-
mittelbar einleuchtenden Inkonsistenz nämlich (A = 0) (A = 1) = 0
erscheinen.

Von vornherein, nämlich sofern Erwähnung jeder andern Klasse
neben A ausgeschlossen, verboten ist, lassen sich als „primitive“
Urteile über A offenbar nur solche Aussagen hinstellen, in welchen
behauptet erscheint, dass A (oder A1) gleich, oder ungleich, 0 oder 1
ist. Und aus diesen (scheinbar 8, wirklich 4) primitiven müssen alle
erdenklichen Aussagen sich mittelst der drei Spezies des Aussagen-
kalkuls alsdann zusammensetzen. Damit treten aber, wie erkannt, zu
ihnen nur noch zweie ausser der nichtssagenden oder identischen Aus-
sage i hinzu, und ist die Peano’sche Zahl erwiesen.

Die vier primitiven Aussagen h, m, h1, m1 würden in Worten sich
etwa wie folgt darstellen:

h = (A = 0) = Es gibt keine A = Nichts ist A;
m = (A = 1) = Es gibt nichts, was nicht A wäre = Alles ist A;
h1 = (A ≠ 0) = Es gibt A = Etwas (Einiges) ist A;
m1 = (A ≠ 1) = Es gibt Nicht-A’s = Nicht alles ist A = Etwas ist nicht A.

Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile h1 m1
und h + m in Worte zu kleiden.

Von jenen vier primitiven Aussagen sind aber zweie die Negation
der beiden andern. Jede Aussage über A allein kann also nur eine
Funktion im identischen Kalkul f (h, m) dieser beiden Argumente sein,
und lässt sich nach diesen entwickelt annehmen.

Die Gesamtheit i aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten
h, m entwickelt zerfällt aber nur in die drei Konstituenten:
i = h m1 + h1 m + h1 m1
sintemal h m = 0 sein, der erste Konstituent des allgemeinen Entwicke-
lungsschema’s also verschwinden muss.

Von diesen drei Konstituenten (wo die 3 augenscheinlich entstand
aus 22 — 1) kann in unsrer Entwickelung von f (h, m) ein jeder nur
entweder mit dem Koeffizienten 0 oder aber mit dem i auftreten.
Somit erhalten wir
2 × 2 × 2 = 23 = 8
Möglichkeiten. Von diesen ist jedoch die eine auszuschliessen, bei
welcher alle drei Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet

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[169/0193] § 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen. welche übrigens sämtlich nur als Umschreibungen der ersten un- mittelbar einleuchtenden Inkonsistenz nämlich (A = 0) (A = 1) = 0 erscheinen. Von vornherein, nämlich sofern Erwähnung jeder andern Klasse neben A ausgeschlossen, verboten ist, lassen sich als „primitive“ Urteile über A offenbar nur solche Aussagen hinstellen, in welchen behauptet erscheint, dass A (oder A1) gleich, oder ungleich, 0 oder 1 ist. Und aus diesen (scheinbar 8, wirklich 4) primitiven müssen alle erdenklichen Aussagen sich mittelst der drei Spezies des Aussagen- kalkuls alsdann zusammensetzen. Damit treten aber, wie erkannt, zu ihnen nur noch zweie ausser der nichtssagenden oder identischen Aus- sage i hinzu, und ist die Peano’sche Zahl erwiesen. Die vier primitiven Aussagen h, m, h1, m1 würden in Worten sich etwa wie folgt darstellen: h = (A = 0) = Es gibt keine A = Nichts ist A; m = (A = 1) = Es gibt nichts, was nicht A wäre = Alles ist A; h1 = (A ≠ 0) = Es gibt A = Etwas (Einiges) ist A; m1 = (A ≠ 1) = Es gibt Nicht-A’s = Nicht alles ist A = Etwas ist nicht A. Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile h1 m1 und h + m in Worte zu kleiden. Von jenen vier primitiven Aussagen sind aber zweie die Negation der beiden andern. Jede Aussage über A allein kann also nur eine Funktion im identischen Kalkul f (h, m) dieser beiden Argumente sein, und lässt sich nach diesen entwickelt annehmen. Die Gesamtheit i aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten h, m entwickelt zerfällt aber nur in die drei Konstituenten: i = h m1 + h1 m + h1 m1 sintemal h m = 0 sein, der erste Konstituent des allgemeinen Entwicke- lungsschema’s also verschwinden muss. Von diesen drei Konstituenten (wo die 3 augenscheinlich entstand aus 22 — 1) kann in unsrer Entwickelung von f (h, m) ein jeder nur entweder mit dem Koeffizienten 0 oder aber mit dem i auftreten. Somit erhalten wir 2 × 2 × 2 = 23 = 8 Möglichkeiten. Von diesen ist jedoch die eine auszuschliessen, bei welcher alle drei Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 169. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/193>, abgerufen am 25.11.2024.