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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
h + k = 100
h + l a = 101
h + k m = 65
k + l a = 106
k + h n = 69
h k + l a = 70
h (k + n) = 9
k (h + m) = 11
(h + k) l = h n + k m = 16
h + k + l a = 121
h k + h n + k m = 31

(die wir als Fortsetzung der ersten Kolonne obigen Tableaus ansetzen) --
sodass die Gesamtzahl der unter a unterscheidbaren Aussagen 19 beträgt.

Dass das System dieser 19 Aussagen nun auch hinsichtlich der Addition
eine Gruppe bildet, durch additive Verknüpfungen zwischen seinen Elementen
also nicht weiter vermehrt werden kann, wäre unschwer durchzuprobiren
nach der Methode der Vervollständigung einer Summenreihe, welche im An-
hang 6, Bd. 1, S. 653 sqq. auseinandergesetzt worden. Als Kontrole (oder
bequemer) kann man aber auch bemerken, dass die 19 Ausdrücke gerade
(und vollzählig) diejenigen aus der Tafel XXII0 sind, in welchen kein ein-
ziges Symbol mit Negationsstrich vorkommt.

Ebenso konnte auch unser Tableau schon aus demjenigen der S. 145
abgeschrieben werden, indem man die Ausdrücke fortliess, in welchen
Negationen von h, k, l, m, n vorkommen.

Könnten nun auch in den folgenden vier Kolumnen unsres Tableau's
je die dreierlei Aussagen ganz unabhängig von einander (und von den
unter die erste Kolumne fallenden) statuirt werden, so wäre die Sache sehr
einfach und müsste:
19 x 3 x 3 x 3 x 3 -- 1 = 1538
die gesuchte Zahl der Aussagen sein.

Diese ist aber nur eine obere Grenze, welche von unsrer gesuchten
Zahl keinenfalls überschritten, auch nicht erreicht werden kann.

Ausser m n d, welches in Gestalt von c b l selbständig zugelassen oder
ausgeschlossen werden mag, sind nämlich die acht Aussagen in den zwei
letzten Zeilen der vier letzten Kolonnen unsres Tableau's nicht unabhängig
von einander, überhaupt nicht einzeln abgebbar.

Haben wir doch nach früherem:
l a = a1 c1 b1 l, m b = a1 c1 b l, n g = a1 c b1 l,
a = a1 c1 b1, b = a1 c1 b, g = a1 c b1, d = a1 c b,
wo die Faktoren a1, c1 und b1 ohne Ungleichheitszeichen nicht darstellbar
sein würden. [Dass gleichwol m n d = a1 c b l ohne solches darstellbar ist,
beruht auf dem Zufall, dass wegen a c b l = 0 auch a1 c b l = c b l sein musste.]

Schröder, Algebra der Logik. II. 11
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
h + k = 100
h + l a = 101
h + k m = 65
k + l a = 106
k + h n = 69
h k + l a = 70
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(h + k) l = h n + k m = 16
h + k + l a = 121
h k + h n + k m = 31

(die wir als Fortsetzung der ersten Kolonne obigen Tableaus ansetzen) —
sodass die Gesamtzahl der unter a unterscheidbaren Aussagen 19 beträgt.

Dass das System dieser 19 Aussagen nun auch hinsichtlich der Addition
eine Gruppe bildet, durch additive Verknüpfungen zwischen seinen Elementen
also nicht weiter vermehrt werden kann, wäre unschwer durchzuprobiren
nach der Methode der Vervollständigung einer Summenreihe, welche im An-
hang 6, Bd. 1, S. 653 sqq. auseinandergesetzt worden. Als Kontrole (oder
bequemer) kann man aber auch bemerken, dass die 19 Ausdrücke gerade
(und vollzählig) diejenigen aus der Tafel XXII0 sind, in welchen kein ein-
ziges Symbol mit Negationsstrich vorkommt.

Ebenso konnte auch unser Tableau schon aus demjenigen der S. 145
abgeschrieben werden, indem man die Ausdrücke fortliess, in welchen
Negationen von h, k, l, m, n vorkommen.

Könnten nun auch in den folgenden vier Kolumnen unsres Tableau’s
je die dreierlei Aussagen ganz unabhängig von einander (und von den
unter die erste Kolumne fallenden) statuirt werden, so wäre die Sache sehr
einfach und müsste:
19 × 3 × 3 × 3 × 3 — 1 = 1538
die gesuchte Zahl der Aussagen sein.

Diese ist aber nur eine obere Grenze, welche von unsrer gesuchten
Zahl keinenfalls überschritten, auch nicht erreicht werden kann.

Ausser m n δ, welches in Gestalt von c b l selbständig zugelassen oder
ausgeschlossen werden mag, sind nämlich die acht Aussagen in den zwei
letzten Zeilen der vier letzten Kolonnen unsres Tableau’s nicht unabhängig
von einander, überhaupt nicht einzeln abgebbar.

Haben wir doch nach früherem:
l α = a1 c1 b1 l, m β = a1 c1 b l, n γ = a1 c b1 l,
α = a1 c1 b1, β = a1 c1 b, γ = a1 c b1, δ = a1 c b,
wo die Faktoren a1, c1 und b1 ohne Ungleichheitszeichen nicht darstellbar
sein würden. [Dass gleichwol m n δ = a1 c b l ohne solches darstellbar ist,
beruht auf dem Zufall, dass wegen a c b l = 0 auch a1 c b l = c b l sein musste.]

Schröder, Algebra der Logik. II. 11
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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 161. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/185>, abgerufen am 26.11.2024.