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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.

Für erstern Zweck empfiehlt es sich, die sieben Terme der obigen
Entwickelung von a der Reihe nach mit den Ziffern 2 bis 8 kürze-
halber zu benennen und die additiven Kombinationen dieser sieben
Ziffern sodann streng systematisch (nach den Regeln der Kombina-
torik) aufzustellen, wodurch einer jeden als Unterfall von a möglichen
Alternative eine bestimmte Ordnungszahl (von 1 bis 128) zugeteilt wird.

Von diesen Unterfällen stellen wir aber jeweils diejenigen neben-
einander, welche in der Mannigfaltigkeit a Negationen von einander
sind, sodass die 128 Fälle in zwei Kolonnen auf 64 Zeilen unter-
gebracht werden. Die erste Kolonne geht dabei an ihrem Ende huf-
eisenförmig in die zweite über, deren Nummern demnach von unten
nach oben gelesen sich an diejenigen der ersten Kolonne anschliessen.

Als einfachsten Ausdruck eines Unterfalles geben wir erstens den-
jenigen an (eventuell, wo mehrere gleichberechtigt, einen solchen) der
aus den Symbolen h, k, l, a bei Berücksichtigung der Relation h k l = 0
mit minimalem Buchstabenaufwande in Aggregatform sich für ihn her-
stellen lässt. Zweitens aber fügen wir diesem Ausdruck auch noch
einen andern bei, wofern solcher nach den für seine Bildung aufzu-
stellenden Grundsätzen möglich und von dem vorigen äusserlich ver-
schieden erscheint.

Die zweite Form des Ausdrucks soll diejenige sein, welche für
A, B am einfachsten zu deuten wäre. In dieser Hinsicht fällt in Be-
tracht, dass eine Aussage, die eine Beziehung zwischen A und B sta-
tuirt, weniger leicht nach ihrem logischen Gehalt zu übersehen ist,
als wie Aussagen, die über A, resp. B nur je für sich aussagen. Die
Information z. B. dass (A 0) (A 1) (B = 1) sei, erscheint fass-
licher, als etwa eine Information des Inhaltes, dass (A1 B1 0)
(A B = 0), und ist die Tragweite der letztern unstreitig weniger leicht
zu übersehen als die der vorigen; nicht leicht wird man sich auf sie
hin das Verhältniss zwischen A und B sofort anschaulich vorzustellen
vermögen. Der Interpretation zuliebe werden daher die Symbole a, l
und ihre Negationen thunlichst zu verdrängen sein durch die h, k, m,
n samt Negationen, indem eben letztere je nur über A oder B allein
eine Aussage abgeben.

Die Ausmerzung der Symbole l, l1, wo solche sich finden, gelingt nun
zuweilen ganz, nicht selten aber auch gar nicht, oder nur teilweise, näm-
lich bei einzelnen Gliedern; auch konnte ja a bei h und k stets unter-
drückt, ferner konnte m a durch k m, sowie n a durch h n ersetzt werden, etc.
Überhaupt genügt die Anwendung der Hülfssätze XV0 S. 134 sq. zur Er-
reichung des gesteckten Zieles und jedenfalls lassen sich die von mir auf-
gestellten Transformationsgleichungen, durch Einsetzung der Werte aus

§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.

Für erstern Zweck empfiehlt es sich, die sieben Terme der obigen
Entwickelung von a der Reihe nach mit den Ziffern 2 bis 8 kürze-
halber zu benennen und die additiven Kombinationen dieser sieben
Ziffern sodann streng systematisch (nach den Regeln der Kombina-
torik) aufzustellen, wodurch einer jeden als Unterfall von a möglichen
Alternative eine bestimmte Ordnungszahl (von 1 bis 128) zugeteilt wird.

Von diesen Unterfällen stellen wir aber jeweils diejenigen neben-
einander, welche in der Mannigfaltigkeit a Negationen von einander
sind, sodass die 128 Fälle in zwei Kolonnen auf 64 Zeilen unter-
gebracht werden. Die erste Kolonne geht dabei an ihrem Ende huf-
eisenförmig in die zweite über, deren Nummern demnach von unten
nach oben gelesen sich an diejenigen der ersten Kolonne anschliessen.

Als einfachsten Ausdruck eines Unterfalles geben wir erstens den-
jenigen an (eventuell, wo mehrere gleichberechtigt, einen solchen) der
aus den Symbolen h, k, l, a bei Berücksichtigung der Relation h k l = 0
mit minimalem Buchstabenaufwande in Aggregatform sich für ihn her-
stellen lässt. Zweitens aber fügen wir diesem Ausdruck auch noch
einen andern bei, wofern solcher nach den für seine Bildung aufzu-
stellenden Grundsätzen möglich und von dem vorigen äusserlich ver-
schieden erscheint.

Die zweite Form des Ausdrucks soll diejenige sein, welche für
A, B am einfachsten zu deuten wäre. In dieser Hinsicht fällt in Be-
tracht, dass eine Aussage, die eine Beziehung zwischen A und B sta-
tuirt, weniger leicht nach ihrem logischen Gehalt zu übersehen ist,
als wie Aussagen, die über A, resp. B nur je für sich aussagen. Die
Information z. B. dass (A ≠ 0) (A ≠ 1) (B = 1) sei, erscheint fass-
licher, als etwa eine Information des Inhaltes, dass (A1 B1 ≠ 0)
(A B = 0), und ist die Tragweite der letztern unstreitig weniger leicht
zu übersehen als die der vorigen; nicht leicht wird man sich auf sie
hin das Verhältniss zwischen A und B sofort anschaulich vorzustellen
vermögen. Der Interpretation zuliebe werden daher die Symbole a, l
und ihre Negationen thunlichst zu verdrängen sein durch die h, k, m,
n samt Negationen, indem eben letztere je nur über A oder B allein
eine Aussage abgeben.

Die Ausmerzung der Symbole l, l1, wo solche sich finden, gelingt nun
zuweilen ganz, nicht selten aber auch gar nicht, oder nur teilweise, näm-
lich bei einzelnen Gliedern; auch konnte ja a bei h und k stets unter-
drückt, ferner konnte m a durch k m, sowie n a durch h n ersetzt werden, etc.
Überhaupt genügt die Anwendung der Hülfssätze XV0 S. 134 sq. zur Er-
reichung des gesteckten Zieles und jedenfalls lassen sich die von mir auf-
gestellten Transformationsgleichungen, durch Einsetzung der Werte aus

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[149/0173] § 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt. Für erstern Zweck empfiehlt es sich, die sieben Terme der obigen Entwickelung von a der Reihe nach mit den Ziffern 2 bis 8 kürze- halber zu benennen und die additiven Kombinationen dieser sieben Ziffern sodann streng systematisch (nach den Regeln der Kombina- torik) aufzustellen, wodurch einer jeden als Unterfall von a möglichen Alternative eine bestimmte Ordnungszahl (von 1 bis 128) zugeteilt wird. Von diesen Unterfällen stellen wir aber jeweils diejenigen neben- einander, welche in der Mannigfaltigkeit a Negationen von einander sind, sodass die 128 Fälle in zwei Kolonnen auf 64 Zeilen unter- gebracht werden. Die erste Kolonne geht dabei an ihrem Ende huf- eisenförmig in die zweite über, deren Nummern demnach von unten nach oben gelesen sich an diejenigen der ersten Kolonne anschliessen. Als einfachsten Ausdruck eines Unterfalles geben wir erstens den- jenigen an (eventuell, wo mehrere gleichberechtigt, einen solchen) der aus den Symbolen h, k, l, a bei Berücksichtigung der Relation h k l = 0 mit minimalem Buchstabenaufwande in Aggregatform sich für ihn her- stellen lässt. Zweitens aber fügen wir diesem Ausdruck auch noch einen andern bei, wofern solcher nach den für seine Bildung aufzu- stellenden Grundsätzen möglich und von dem vorigen äusserlich ver- schieden erscheint. Die zweite Form des Ausdrucks soll diejenige sein, welche für A, B am einfachsten zu deuten wäre. In dieser Hinsicht fällt in Be- tracht, dass eine Aussage, die eine Beziehung zwischen A und B sta- tuirt, weniger leicht nach ihrem logischen Gehalt zu übersehen ist, als wie Aussagen, die über A, resp. B nur je für sich aussagen. Die Information z. B. dass (A ≠ 0) (A ≠ 1) (B = 1) sei, erscheint fass- licher, als etwa eine Information des Inhaltes, dass (A1 B1 ≠ 0) (A B = 0), und ist die Tragweite der letztern unstreitig weniger leicht zu übersehen als die der vorigen; nicht leicht wird man sich auf sie hin das Verhältniss zwischen A und B sofort anschaulich vorzustellen vermögen. Der Interpretation zuliebe werden daher die Symbole a, l und ihre Negationen thunlichst zu verdrängen sein durch die h, k, m, n samt Negationen, indem eben letztere je nur über A oder B allein eine Aussage abgeben. Die Ausmerzung der Symbole l, l1, wo solche sich finden, gelingt nun zuweilen ganz, nicht selten aber auch gar nicht, oder nur teilweise, näm- lich bei einzelnen Gliedern; auch konnte ja a bei h und k stets unter- drückt, ferner konnte m a durch k m, sowie n a durch h n ersetzt werden, etc. Überhaupt genügt die Anwendung der Hülfssätze XV0 S. 134 sq. zur Er- reichung des gesteckten Zieles und jedenfalls lassen sich die von mir auf- gestellten Transformationsgleichungen, durch Einsetzung der Werte aus

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 149. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/173>, abgerufen am 18.02.2025.