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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 36. Reduktion auf den Typus der Gleichung und Ungleichung.

Nämlich bei a ist allein auf die Def. [60] hinzuweisen, bei b und c auf
das Th. 38x), bei d auf Th. 39x). Die Formeln für e, f, g sind Wieder-
holungen der Definitionen [50], [40] und [70], nämlich e = b c1, f = b1 c,
g = a1 b1 c1 mit Rücksicht auf die unmittelbar vorher gewonnenen Darstel-
lungen der Symbole rechterhand.

Bei b, g, d endlich sind die ersten Darstellungen zunächst nur Aus-
druck (ausführlichere Wiedergabe) der Definitionen [80]: b = e k1, g = f h1,
d = d h1 k1. Durch blosses Einsetzen der voraufgehenden Werte von e, f, d
aber würde man hieraus etwas andere, als die dahinter angegebenen Dar-
stellungen von b, g, d erhalten, nämlich solche, in denen an Stelle des
letzten Faktors {A B 0} bezüglich stünde {B 0}, {A 0}, und
{A 0} {B 0} [oder auch einfacher aber unsymmetrisch nur einer von
diesen beiden Faktoren allein, gleichviel, welcher von beiden -- wegen
d h1 k1 = d h1 = d k1 unter 100)'']. Die angegebenen zweiten Darstellungen
von b, g, d fliessen jedoch sofort aus den Darstellungen 180) mittelst Ein-
setzung der gefundenen Werte für die Symbole rechterhand.

Anmerkung. Wo in IV0 die Gleichung A B1 + A1 B = 0 auftritt,
könnte dieselbe nach Th. 24+) auch in das Produkt (A B1 = 0) (A1 B = 0)
umgeschrieben werden, und da die beiden Aussagen äquivalent sind, müssen
nach Th. 32) auch ihre Negationen es sein, woraus zu lernen, dass analog
die Ungleichung A B1 + A1 B 0 auch in die Summe (A B1 0) + (A1 B 0)
verwandelt werden dürfte.

Es haben sonach alle Umfangsbeziehungen sich durch Aussagen
über Gleichheit oder Ungleichheit wirklich darstellen lassen.

Hieraus folgt aber die wichtige Erkenntniss, dass wir jede über
Beziehungen zwischen Klassen (oder Umfangsverhältnisse von Begriffen)
überhaupt erdenkliche Aufgabe gelöst haben werden, sobald es uns nur ge-
lingen wird, das allgemeinste auf Gleichungen und Ungleichungen bezüg-
liche Problem zu lösen.

Diesem letztern Ziele werden wir demnach in Bälde zusteuern (§ 41
und 49 besonders).

Insofern mit einem Beziehungszeichen, bei Zulassung der Negation auch
an den solche Beziehung statuirenden Aussagen, immer schon dessen Ver-
neinung mitgegeben erscheint, können wir auch sagen:

Die Logik des Umfanges kommt mit den Operationen der identischen
drei Spezies (zur Not schon mit Negation und Multiplikation, vergl. Th. 36)
Anm.) und einem einzigen Beziehungszeichen aus bei allen ihren Problemen
und Untersuchungen, und zwar namentlich mit dem Zeichen = der Gleich-
heit, oder wenn man will auch mit dem Zeichen der Subsumtion.

Praktisch werden die beiden Zeichen = und , oder auch die beiden
und alle Dienste versehen.

Auf Grund der Darstellungen IV0 bewahrheiten sich unmittelbar
die folgenden Beziehungsäquivalenzen:

§ 36. Reduktion auf den Typus der Gleichung und Ungleichung.

Nämlich bei a ist allein auf die Def. [60] hinzuweisen, bei b und c auf
das Th. 38×), bei d auf Th. 39×). Die Formeln für e, f, g sind Wieder-
holungen der Definitionen [50], [40] und [70], nämlich e = b c1, f = b1 c,
g = a1 b1 c1 mit Rücksicht auf die unmittelbar vorher gewonnenen Darstel-
lungen der Symbole rechterhand.

Bei β, γ, δ endlich sind die ersten Darstellungen zunächst nur Aus-
druck (ausführlichere Wiedergabe) der Definitionen [80]: β = e k1, γ = f h1,
δ = d h1 k1. Durch blosses Einsetzen der voraufgehenden Werte von e, f, d
aber würde man hieraus etwas andere, als die dahinter angegebenen Dar-
stellungen von β, γ, δ erhalten, nämlich solche, in denen an Stelle des
letzten Faktors {A B ≠ 0} bezüglich stünde {B ≠ 0}, {A ≠ 0}, und
{A ≠ 0} {B ≠ 0} [oder auch einfacher aber unsymmetrisch nur einer von
diesen beiden Faktoren allein, gleichviel, welcher von beiden — wegen
d h1 k1 = d h1 = d k1 unter 100)'']. Die angegebenen zweiten Darstellungen
von β, γ, δ fliessen jedoch sofort aus den Darstellungen 180) mittelst Ein-
setzung der gefundenen Werte für die Symbole rechterhand.

Anmerkung. Wo in IV0 die Gleichung A B1 + A1 B = 0 auftritt,
könnte dieselbe nach Th. 24+) auch in das Produkt (A B1 = 0) (A1 B = 0)
umgeschrieben werden, und da die beiden Aussagen äquivalent sind, müssen
nach Th. 3̅2̅) auch ihre Negationen es sein, woraus zu lernen, dass analog
die Ungleichung A B1 + A1 B ≠ 0 auch in die Summe (A B1 ≠ 0) + (A1 B ≠ 0)
verwandelt werden dürfte.

Es haben sonach alle Umfangsbeziehungen sich durch Aussagen
über Gleichheit oder Ungleichheit wirklich darstellen lassen.

Hieraus folgt aber die wichtige Erkenntniss, dass wir jede über
Beziehungen zwischen Klassen (oder Umfangsverhältnisse von Begriffen)
überhaupt erdenkliche Aufgabe gelöst haben werden, sobald es uns nur ge-
lingen wird, das allgemeinste auf Gleichungen und Ungleichungen bezüg-
liche Problem zu lösen.

Diesem letztern Ziele werden wir demnach in Bälde zusteuern (§ 41
und 49 besonders).

Insofern mit einem Beziehungszeichen, bei Zulassung der Negation auch
an den solche Beziehung statuirenden Aussagen, immer schon dessen Ver-
neinung mitgegeben erscheint, können wir auch sagen:

Die Logik des Umfanges kommt mit den Operationen der identischen
drei Spezies (zur Not schon mit Negation und Multiplikation, vergl. Th. 36)
Anm.) und einem einzigen Beziehungszeichen aus bei allen ihren Problemen
und Untersuchungen, und zwar namentlich mit dem Zeichen = der Gleich-
heit, oder wenn man will auch mit dem Zeichen ⊆ der Subsumtion.

Praktisch werden die beiden Zeichen = und ≠, oder auch die beiden
⊆ und ⊆ alle Dienste versehen.

Auf Grund der Darstellungen IV0 bewahrheiten sich unmittelbar
die folgenden Beziehungsäquivalenzen:

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[121/0145] § 36. Reduktion auf den Typus der Gleichung und Ungleichung. Nämlich bei a ist allein auf die Def. [60] hinzuweisen, bei b und c auf das Th. 38×), bei d auf Th. 39×). Die Formeln für e, f, g sind Wieder- holungen der Definitionen [50], [40] und [70], nämlich e = b c1, f = b1 c, g = a1 b1 c1 mit Rücksicht auf die unmittelbar vorher gewonnenen Darstel- lungen der Symbole rechterhand. Bei β, γ, δ endlich sind die ersten Darstellungen zunächst nur Aus- druck (ausführlichere Wiedergabe) der Definitionen [80]: β = e k1, γ = f h1, δ = d h1 k1. Durch blosses Einsetzen der voraufgehenden Werte von e, f, d aber würde man hieraus etwas andere, als die dahinter angegebenen Dar- stellungen von β, γ, δ erhalten, nämlich solche, in denen an Stelle des letzten Faktors {A B ≠ 0} bezüglich stünde {B ≠ 0}, {A ≠ 0}, und {A ≠ 0} {B ≠ 0} [oder auch einfacher aber unsymmetrisch nur einer von diesen beiden Faktoren allein, gleichviel, welcher von beiden — wegen d h1 k1 = d h1 = d k1 unter 100)'']. Die angegebenen zweiten Darstellungen von β, γ, δ fliessen jedoch sofort aus den Darstellungen 180) mittelst Ein- setzung der gefundenen Werte für die Symbole rechterhand. Anmerkung. Wo in IV0 die Gleichung A B1 + A1 B = 0 auftritt, könnte dieselbe nach Th. 24+) auch in das Produkt (A B1 = 0) (A1 B = 0) umgeschrieben werden, und da die beiden Aussagen äquivalent sind, müssen nach Th. 3̅2̅) auch ihre Negationen es sein, woraus zu lernen, dass analog die Ungleichung A B1 + A1 B ≠ 0 auch in die Summe (A B1 ≠ 0) + (A1 B ≠ 0) verwandelt werden dürfte. Es haben sonach alle Umfangsbeziehungen sich durch Aussagen über Gleichheit oder Ungleichheit wirklich darstellen lassen. Hieraus folgt aber die wichtige Erkenntniss, dass wir jede über Beziehungen zwischen Klassen (oder Umfangsverhältnisse von Begriffen) überhaupt erdenkliche Aufgabe gelöst haben werden, sobald es uns nur ge- lingen wird, das allgemeinste auf Gleichungen und Ungleichungen bezüg- liche Problem zu lösen. Diesem letztern Ziele werden wir demnach in Bälde zusteuern (§ 41 und 49 besonders). Insofern mit einem Beziehungszeichen, bei Zulassung der Negation auch an den solche Beziehung statuirenden Aussagen, immer schon dessen Ver- neinung mitgegeben erscheint, können wir auch sagen: Die Logik des Umfanges kommt mit den Operationen der identischen drei Spezies (zur Not schon mit Negation und Multiplikation, vergl. Th. 36) Anm.) und einem einzigen Beziehungszeichen aus bei allen ihren Problemen und Untersuchungen, und zwar namentlich mit dem Zeichen = der Gleich- heit, oder wenn man will auch mit dem Zeichen  der Subsumtion. Praktisch werden die beiden Zeichen = und ≠, oder auch die beiden  und  alle Dienste versehen. Auf Grund der Darstellungen IV0 bewahrheiten sich unmittelbar die folgenden Beziehungsäquivalenzen:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 121. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/145>, abgerufen am 18.02.2025.