Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen. letzten Terme unter sich auch noch die vier Produkte aus dem erstenTerm in jeden folgenden verschwinden. Hiemit ist die ganze Möglichkeit i der Beziehungen in 5 einander Aus der Def. von g ist aber unmittelbar ersichtlich, dass: Es ist dies eine Hauptgleichung, die man vorerst nicht aus den Ein jeder dieser fünf Terme ist eine Aussage, welche eine be- Wie immer die Gebiete A und B auch gegeben werden mögen, Anmerkung. Anstatt d h1 k1 hätten wir nach 100)'' auch einfacher, Als Definition der vier letzten Elementarfälle kann man daher auch Schröder, Algebra der Logik. II. 8
§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen. letzten Terme unter sich auch noch die vier Produkte aus dem erstenTerm in jeden folgenden verschwinden. Hiemit ist die ganze Möglichkeit i der Beziehungen in 5 einander Aus der Def. von g ist aber unmittelbar ersichtlich, dass: Es ist dies eine Hauptgleichung, die man vorerst nicht aus den Ein jeder dieser fünf Terme ist eine Aussage, welche eine be- Wie immer die Gebiete A und B auch gegeben werden mögen, Anmerkung. Anstatt d h1 k1 hätten wir nach 100)'' auch einfacher, Als Definition der vier letzten Elementarfälle kann man daher auch Schröder, Algebra der Logik. II. 8
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Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.</fw><lb/> letzten Terme unter sich auch noch die vier Produkte aus dem ersten<lb/> Term in jeden folgenden verschwinden.</p><lb/> <p>Hiemit ist die ganze Möglichkeit i der Beziehungen in 5 einander<lb/> gegenseitig ausschliessende Klassen zerfällt, die wir als die „<hi rendition="#i">Elementar-<lb/> fälle</hi>“ zu bezeichnen haben.</p><lb/> <p>Aus der Def. von <hi rendition="#i">g</hi> ist aber unmittelbar ersichtlich, dass:<lb/> 14<hi rendition="#sup">0</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">g</hi> = <hi rendition="#i">g</hi>, sonach <hi rendition="#i">g</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">g</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a g</hi> = 0, <hi rendition="#i">a g</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a</hi>,</hi><lb/> und hienach in Verbindung mit 10<hi rendition="#sup">0</hi>)'', 9<hi rendition="#sup">0</hi>)'' und 9<hi rendition="#sup">0</hi>)''' wird also:<lb/> 15<hi rendition="#sup">0</hi>) <hi rendition="#et">i = <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">d h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">e k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">f h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">g</hi></hi><lb/> die Zerfällung in die fünf Klassen sein. 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§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.
letzten Terme unter sich auch noch die vier Produkte aus dem ersten
Term in jeden folgenden verschwinden.
Hiemit ist die ganze Möglichkeit i der Beziehungen in 5 einander
gegenseitig ausschliessende Klassen zerfällt, die wir als die „Elementar-
fälle“ zu bezeichnen haben.
Aus der Def. von g ist aber unmittelbar ersichtlich, dass:
140) a1 g = g, sonach g  a1, a  g1, a g = 0, a g1 = a,
und hienach in Verbindung mit 100)'', 90)'' und 90)''' wird also:
150) i = a + d h1 k1 + e k1 + f h1 + g
die Zerfällung in die fünf Klassen sein. Für letztere führen wir zum
Teil noch kürzere Namen ein, indem wir definiren:
[80] d h1 k1 = δ, e k1 = β, f h1 = γ, g = α,
sodass nunmehr
160) i = a + α + β + γ + δ
bleiben wird.
Es ist dies eine Hauptgleichung, die man vorerst nicht aus den
Augen verlieren darf. Die fünf Terme rechterhand müssen nach Bis-
herigem, wie gesagt, disjunkt sein, ihre zehn Produkte zu irgend zweien
sind gleich 0. Es tritt hier also der Fall des Zusatz 2 zu Th. 28),
Bd. 1, S. 314 sq. auf: die Negation irgend eines Terms oder eines
Aggregates von Termen rechterhand ist jeweils das Aggregat der
übrigen Terme, z. B. a1 = α + β + γ + δ, etc.
Ein jeder dieser fünf Terme ist eine Aussage, welche eine be-
stimmte Beziehung zwischen den Gebieten A und B statuirt. Die fünf
Beziehungen nennen wir eben die „Elementarbeziehungen“, und haben
dieselben nunmehr auch analytisch definirt.
Wie immer die Gebiete A und B auch gegeben werden mögen,
so gilt notwendig immer eine von diesen Elementarbeziehungen und
dann nicht die übrigen.
Anmerkung. Anstatt d h1 k1 hätten wir nach 100)'' auch einfacher,
jedoch auf Kosten der Symmetrie, blos d h1 oder d k1 in 150) und [80]
schreiben können. Umgekehrt dürfen wir nach 40)' und 40) für e auch e h1
und für f auch f k1 schreiben, also e k1 durch e h1 k1 und f h1 durch f h1 k1 er-
setzen. Endlich war unter 80)'' a1 = a1 h1 k1 erwiesen, wonach Def. [70] auch
g = g h1 k1 liefert.
Als Definition der vier letzten Elementarfälle kann man daher auch
schreiben:
Schröder, Algebra der Logik. II. 8
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 113. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/137>, abgerufen am 26.08.2024. |